Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

y

M0

y = f(x)

f(a) =

Рис. 2.7

Следовательно, по теореме Ферма

f ′(x0 ) = 0. Теорема доказана.

Геометрически теорема Ролля утверждает (рис. 2.8), что если функция непрерывная на [a, b] и дифференцируемая на (a, b), имеет на концах отрезка [a, b] одинаковые значения, то найдется точка x0 (a, b), для которой касательная к графику параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то найдется хотя бы одна внутренняя точка x0 отрезка [a, b], такая, что

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функ-

цию:

F(x) = f(x) – f (b) − f (a) (x – a) b − a

и покажем, что она удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Функция F(x) непрерывна на [a, b], так как на [a, b] непрерывны функции f (x) и (x – a). Производная

существует в интервале (a, b). Вычислим F(x) на концах отрез-

ка [a, b]:

66

F(a) = f (a) – f (b) − f (a) (a – a) = f (a), b − a

F(b) = f (b) – f (b) − f (a) (b – a) = f (b) – f (b) + f (a) = f (a). b − a

y M

Значит, F(a) = F(b). По теореме Ролля найдется точка x0 (a, b), такая, что F'(x0) = 0. Подставив x0 в равенство (2.15)

хорды AB, соединяющей точки A(a, f (a)), B(b, f (b)), f '(x0) – угловой коэффициент касательной к графику y = f (x), прове-

денной в точке M0(x0, f (x0)), и f ′(x0 ) = tgα. Теорема Лагранжа

утверждает, что на графике функции y = f (x) найдется хотя бы одна точка M0, в которой касательная к графику параллельна хорде AB.

Заметим, что формулу (2.14) можно записать в виде:

67

αf(a)

Формулы (2.16), (2.17) называют формулами конечных приращений, а теорему Лагранжа – теоремой о конечных приращениях. При этом теорема Лагранжа переформулируется следующим образом: приращение дифференцируемой функ-

ции на отрезке равно произведению длины отрезка на значение производной этой функции в некоторой внутренней точке отрезка.

Получим следствие из теоремы Лагранжа. Известно, что производная постоянной функции равна нулю. Докажем обратное утверждение.

Следствие. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и во всех внутренних точках этого отрезка f ′(x) = 0, то

функция f (x) постоянна на отрезке [a, b].

Доказательство. Пусть x – произвольная точка отрезка [a, b], не совпадающая с a, тогда по формуле (2.16) конечных приращений применительно к отрезку [a, x] имеем:

68

Теорема Коши. Пусть функции f(x), g(x) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на (a, b), причем g'(x) ≠ 0 для любой точки x из интервала (a, b). Тогда существует внутрен-

Доказательство. Отметим, что ϕ(b) ≠ ϕ(a), так как в противном случае по теореме Ролля ϕ'(x) = 0 в некоторой точке x0 (a, b).

Введем вспомогательную функцию:

F(x) = f (x) – f (b) − f (a) (ϕ(x) – ϕ(a)) ϕ(b) −ϕ(a)

и покажем, что F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Очевидно,

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши будут многократно применяться на протяжении курса математического анализа.

69

2.10.Правило Лопиталя

Вразделе 1 мы познакомились с приемами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно

больших функций, т.е. раскрытия неопределенностей типа 00 и

∞∞ . В этом разделе мы рассмотрим новый способ вычисления

таких пределов, так называемое правило Лопиталя. Теорема Лопиталя. (Раскрытие неопределенностей типа 00 )

Пусть функции f(x), g(x) определены, непрерывны и дифференцируемы в точке x0 и некоторой ее окрестности, причем g'(x) ≠ 0 для любого x из этой окрестности, и пусть f(x0) = 0, g(x0) = 0 (следовательно, f(x), g(x) – бесконечно малые

Доказательство. Равенство (2.18) называют правилом

Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа 0 .

0

Дадим значению аргумента x0 приращение x, такое, чтобы точка x = x0 + x принадлежала рассматриваемой окрестности точки x0.

Случай 1. x > 0, тогда x > x0. Функции f (x), g (x), рассматриваемые на отрезке [x0, x], удовлетворяют теореме Коши,

70