Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

С примерами асимптот мы встречались при изучении пределов

функции (раздел 1). Напомним, что если lim f (x) = b, то пря-

x→+∞

мая y = b является асимптотой графика y = f (x) (при x → +∞), эта асимптота параллельна оси Ox и называется горизонталь ной асимптотой (см. рис. 2.15). Аналогично, прямая y = b

является асимптотой графика y = f (x)

при x → −∞, если

lim f (x) = b (рис. 2.14).

x→−∞

y =f(x)

Асимптота

0		x	0	x
0	Асимптота	x	0	x


	Рис. 2.14			Рис. 2.15

Рассмотрим асимптоты, параллельные оси Oy. Они на-

зываются вертикальными асимптотами.

Пусть для функции f (x):
lim	f(x) = ∞ или	lim	f(x) = ∞,
x→x0 −0		x→x0 +0

тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x0

− асимптота. Очевидно и обратное, если прямая x = x0 является асимптотой, то хотя бы один из пределов,

lim	f(x),	lim	f(x),
x→x0 −0		x→x0 +0

является бесконечным (см. рис. 2.16, 2.17).

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения x0, односторонние пределы в которых равны бесконечности.

y = f(x)

Асимптота

y =f(x)

Асимптота

Рис. 2.16

Рис. 2.17

Пример 1. Найти вертикальные асимптоты для графика

1
функции y =		.
функции y =	x − 2	.	1
Решение. Функция f (x) =			1	определена и непрерывна
Решение. Функция f (x) =			x − 2	определена и непрерывна
			x − 2

во всех точках числовой оси, за исключением точки x0 = 2, в которой функция терпит разрыв,

lim

= –∞,

lim

= +∞.

x − 2

x→2−0

x→2+0

Следовательно, прямая x

= 2 является вертикальной

асимптотой для графика y =

x − 2

Кроме того,

lim

= 0

lim

= 0, следова-

x −

x − 2

x→+∞

x→−∞

тельно прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой при x → +∞ и при x → −∞ (см. рис. 2.18).

Асимптота

y =f(x)

y =

x − 2

	Рис. 2.18		Рис. 2.19
Рассмотрим асимптоты, которые не параллельны оси Oy,

и будем называть их наклонными асимптотами. Пусть график функции y = f (x) имеет наклонную асимптоту при x → +∞, тогда ее уравнение имеет вид y = kx + b. Определим числа k и b.

Опустим из точки M(x, f(x)) графика функции перпендикуляр MN на асимптоту (см. рис. 2.19). Из определения асим-

птоты следует, что при x → +∞ длина MN → 0 ( lim				MN = 0).
		MN	x→+∞
Из	MNK имеем MK =		, где α – угол наклона асимптоты

		cosα
к оси Ox, поэтому cosα – постоянная величина.				Значит,
lim	MK = 0. Так как MK = \|AK – AM\|, AK = kx + b, то
x→+∞
MK = \|kx + b – f(x)\|, следовательно,
	lim (f(x) – kx – b) = 0.			(2.19)
	x→+∞
	Итак, если прямая y = kx + b является асимптотой графи-

ка функции y = f (x), то выполняется равенство (2.19) и наоборот, если при постоянных числах k, b выполняется равенство

(2.19), то прямая y = kx + b является асимптотой. Из равенства (2.19), разделив бесконечно малую функцию (f(x) – kx – b) на x (а x → +∞), получим:

	f (x)		− k −	b	= 0,	(2.20)
lim
		x
x→+∞				x

отсюда угловой коэффициент асимптоты:

k = lim	f ( x)	.	(2.21)

x→+∞	x

Определим коэффициент b из равенства (2.19), подставив в эторавенствозначениеk:

b = lim (f(x) – kx).	(2.22)
x→+∞

Итак, если прямая y = kx + b является асимптотой графика y = f(x), то k, b находятся по формулам (2.21), (2.22). Обратно, если существуют пределы (2.21), (2.22), то прямая y = kx + b есть асимптота. Если хотя бы один из пределов (2.21), (2.22) не существует, то при x → +∞ кривая не имеет асимптоты.

Аналогично решается вопрос об асимптотах при x → −∞. Заметим, что отдельно находить горизонтальные асимптоты нет надобности, они будут найдены при нахождении наклонных асимптот (при k = 0).

Пример 2. Найти асимптоты линии y = ex – x.

Решение. Функция f (x) = ex – x определена, непрерывна на бесконечном интервале (–∞, +∞), поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты, для этого вычислим пре-

делы (2.21), (2.22) при x → +∞, x → −∞:

lim	f (x)	= lim (	ex	– 1) = ∞,
	x		x
x→+∞		x→+∞

так как lim

= ∞ (проверьте это по правилу Лопиталя).

x→+∞

Отсюда следует, что при x → +∞ наклонных асимптот нет:

lim

(x)

lim

(

– 1) = –1, так как

lim

= 0,

x→−∞

отсюда k = –1.

Далее,

lim

(f(x) – kx) =

lim

(ex – x + x) = lim

ex = 0,

значит, b = 0.x→−∞

x→−∞

Итак, прямая

y = –x

есть

наклонная

асимптота при

x → −∞ для графика функции y = ex – x.

Источник: https://studfile.net/preview/16565748/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27