Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Доказательство. Пусть для определенности x0 – точка максимума, тогда найдется окрестность (x0 – δ, x0 + δ) точки x0

Очевидно, что x0 = 0 является точкой минимума, так как |0| < |x| для любого x ≠ 0. А в точке x0 = 0 производной f '(0) не существует.

Если f '(x0) = 0 или f '(x0) не существует, то точку x0 будем называть критической (или подозрительной на экстремум). Критическая точка может и не быть точкой экстремума.

Теорема 2. (Первое достаточное условие экстремума)

Пусть функция f (x) определена и непрерывна в точке x0 и некоторой ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, за исключением, может быть, точки x0, и x0 – критическая

76

Доказательство. Пусть для x < x0: f ′(x) > 0, а для x > x0: f ′(x) < 0, т.е. при переходе через точку x0 слева направо про-

изводная меняет знак с + на –. Тогда слева от x0 функция f(x) возрастает, а справа от x0 функция f(x) убывает, следовательно, x0 – точка максимума. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в точке x0

точка максимума.

Доказательство. Пусть f ′(x0) = 0 и f ′′(x0) > 0. Покажем,

чтоx0 – точкаминимума:

точки x0 функция f (x) убывает, а справа – возрастает, это означает, что x0 – точка минимума. Аналогично доказывается вторая часть теоремы для f ′′(x0) < 0.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию f (x) = x + 4x .

Решение. Область определения функции (-∞, 0) (0, +∞), в каждом из этих интервалов функция непрерывна. Найдем f'(x) и f''`(x): f '(x) = 1 – x42 , f''(x) = x83 . Теперь найдем крити-

77

ческие точки функции, для этого решим уравнение f'(x) = 0: 1 – x42 = 0, отсюда x1 = –2, x2 = +2 – критические точки.

Используем теорему 3 для исследования критических точек,

2.13. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба

Пусть f (x) – функция, дифференцируемая на интервале (a, b). Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции y = f (x).

Кривая, заданная функцией y = f (x), называется выпуклой на интервале (a, b), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Кривая называется вогнутой на интервале (a, b), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

78

Точка кривой M0(x0, f(x0)), отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Кривая y = f (x) (рис.2.12) является выпуклой на интервалах (–2; –1,5) и (0; 1,5), вогнутой на интервалах (–1,5; 0) и

(1,5; 2). Точки M1(–1,5; f(–1,5)), O(0, 0), M2(1,5; f(1,5)) – точки перегиба.

Теорема 1. (Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции).

Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна, т.е. f''(x) < 0, то кривая y = f (x) на этом интервале выпукла.

Если во всех точках интервала (a, b): f ′′(x) > 0, то кривая y = f (x) на этом интервале вогнута.

Доказательство. 1) Пусть f ′′(x) < 0 для x (a, b). Возь-

мем на интервале (a, b) произвольную точку x0 и проведем ка-

сательную M0K к кривой y = f (x) в точке M0(x0, f (x0)) (см. рис. 2.13).

Покажем, что все точки кривой y = f (x) лежат ниже точек касательной M0K (за исключением общей точки M0), т.е. при одном и том же значении x ордината y = f (x) кривой меньше ординаты касательной:

Покажем, что y – yкас< 0. Действительно,

= f (x) – f (x0) – f ′(x0)(x – x0).

Применим к разности f (x) – f (x0) теорему Лагранжа: f (x) – f (x0) = f ′(с)(x – x0),

где c лежит между x и x0, тогда

y – yкас = f ′(с)(x – x0) – f ′(x0)(x – x0) = ( f ′(c) – f ′(x0))(x – x0).

К разности f'(c) – f'(x0) опять применим теорему Лагранжа:

79

f ′(c) – f ′(x0) = f ′′(c1)(c – x0),

где c1 лежит между x0 и c, тогда

y – yкас = f ′′(c1)(c – x0)(x – x0).

Определим знак разности y – yкас. По условию f ′′(c1) < 0.

Покажем, что (c – x0)(x – x0) > 0. Действительно, если x > x0, то c > x0 (так как c лежит между x и x0), следовательно, в этом

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Теорема 2 (достаточное условие точки перегиба)

Пусть кривая является графиком функции y = f (x). Если f ′′(x0) = 0 или f ′′(x0) не существует и при переходе через x0

вторая производная f ′′(x) меняет свой знак, то точка M0(x0, f (x0)) этой кривой является точкой перегиба.

Доказательство. Пусть для x < x0: f ′′(x) < 0, а для x > x0: f ′′(x) > 0, тогда слева от точки M0(x0, f (x0)) график функ-

ции y = f (x) выпуклый, а справа от M0 – вогнутый, т.е. M0 – точка перегиба.

2.14. Асимптоты

При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Асимптотой графика функции y = f (x) называется такая прямая, что расстояние от переменной точки M на графике до этой прямой стремится к нулю при удалении точки M в беско-

нечность (рис. 2.14, 2.15).

80