Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н
1
α(x)
F1(x)
Теорема 2. Если α (x) – б.м. при x → a и α (x) ≠ 0, то
– б.б. при x → a.
Свойство 1. Если F1(x), F2(x) – б.б. при x → a, то функцияF2(x) – б.б. приx → a.
Свойство 2. Если F1(x), F2(x) – б.б. функции при x→a,
причем F1(x) > 0 и F2(x) > 0 (т.е. lim F1(x)=+∞,
x→a
lim F2 (x) = + ∞), то функция F1(x) + F2(x) – б.б. при x → a.
x→a
Свойство 3. Если F(x) – б.б. при x → a и число C ≠ 0, то
CF(x) – б.б. при x → a.
Замечание. Если F1(x) и F2(x) – б.б. функции при x → a, но имеют разные знаки, то F1(x) + F2(x) может быть как б.б.,
так и б.м. при x → a, как иметь предел при x → a, так и не иметь его.
1.8. Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Если lim f (x) = b, то f (x) = b +α(x), где α(x) –
x→a
б.м. при x → a.
Доказательство. Пусть lim f (x) = b. Рассмотрим функ-
x→+∞
цию α (x) = f (x) – b и покажем, что α (x) – б.м. при x → +∞ .
Из определения lim f (x) = b имеем, что
x→+∞
ε > 0 x0 x > x0 |f (x) – b| < ε, но так как α (x) = f(x) – b, то
ε > 0 x0 x > x0 |α (x)| < ε , а это означает, что α(x) – б.м. при x → +∞.
Итак, из равенства α (x) = f (x) – b имеем f (x) = b + α (x), где α (x) – б.м. при x → +∞.
26
Теорема 2. Если функцию f(x) можно представить в виде: f (x) = b + α(x), где b – число, α(x) – б.м. функция при x → a, то
lim f (x) = b.
x→a
Доказательство. Пусть f (x) = b + α(x), где α(x) – б.м. при x → +∞, т.е.
ε > 0 x0 x > x0 |α(x)| < ε. |
(*) |
Но α(x) = f (x) – b, поэтому (*) можно записать так: |
|
ε > 0 x0 x > x0 |f (x) – b| < ε, что означает: |
|
lim f (x) = b. |
|
x→+∞ |
|
Следующие теоремы значительно облегчают нахождение пределов.
Теорема 3. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, т.е. если
lim f1(x) = b1, |
lim f2(x) = b2, то |
x→a |
x→a |
lim (f1(x) + f2(x)) = b1 + b2, |
lim (f1(x) – f2(x) ) = b1 – b2. |
x→a |
x→a |
Доказательство. На основании теоремы 1: f1(x) = b1 +
+α1(x), f2(x) = b2 + α2(x), где α1(x), α2(x) – б.м. при x → a, тогда f1(x) + f2(x) = (b1 + α1(x)) + (b2 + α2(x)) =
=(b1 + b2) + (α1(x) + α2(x)).
Но α1(x) + α2(x) – б.м. функция при x → a (как сумма двух б.м. функций), поэтому из равенства
f1(x) + f2(x) = (b1 + b2) + (α1(x) + α2(x))
по теореме 2 следует, что
lim (f1(x) + f2(x)) = b1 + b2.
x→a
Аналогично проводится доказательство для разности. Теорема 4. Предел произведения двух функций равен
произведению их пределов, т.е. если |
|
|
lim f1(x) = b1, |
lim f2(x) = b2, то |
lim (f1(x) f2(x)) = b1 b2. |
x→a |
x→a |
x→a |
Доказательство. По теореме 1:
27
f1(x) = b1 + α1(x), f2(x) = b2 + α2(x), где α1(x), α2(x) – б.м.
при x → a, тогда
f1(x) f2(x) = b1 b2 + b1 α2(x) + b2 α1(x) + α1(x) α2(x).
На основании следствий 2, 3, теоремы 1 (разд. 1.6) функ-
ции b1 α2(x), b2 α1(x), α1(x) α2(x) – б.м. при x → a и
α(x) = b1 α2(x) + b2 α1(x) + α1(x) α2(x) – бесконечно малая функция при x → a. Из равенства f1(x) f2(x) = b1b2 + α(x) по тео-
реме 2 следует, что lim (f1(x) f2(x)) = b1b2. |
|
||
|
x→a |
|
|
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за |
|||
знак предела, т.е. |
|
|
|
lim (С f (x)) = С lim f (x), |
где С – постоянное число. |
||
x→a |
x→a |
|
|
Доказательство. lim С f(x) = lim С lim f(x) = С lim f(x), |
|||
|
x→a |
x→a x→a |
x→a |
так как lim С = С. |
|
|
|
x→a |
|
|
|
Следствие 2. Если n – натуральное число, то |
|
||
|
lim [(f(x))n] = ( lim f(x))n. |
|
|
|
x→a |
x→a |
|
Теорема 5. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Иначе, если
|
|
lim f |
1 |
(x) |
|
b1 |
|
lim f1(x) = b1, |
lim f2(x) = b2 и b2 ≠ 0, то |
x→a |
|
= |
. |
||
lim f |
|
(x) |
|
||||
x→a |
x→a |
2 |
|
b |
|||
Доказательство. По теореме 1: |
x→a |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
f1(x) = b1 + α1(x), |
f2(x) = b2 + α2(x), где α1(x), α2(x) – б.м. |
||||||
при x → a, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
28
|
|
|
|
f1 (x) |
|
|
b1 +α1 (x) |
|
b1 |
|
|
|
b1 +α1 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
= |
= |
+ |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f2 (x) |
b2 +α2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
b2 +α2 (x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
b1 |
|
+ |
b1b 2 +b 2α1 (x) −b1b 2 −b1α2 (x) |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
b2 |
+b |
2 |
α |
2 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
b1 |
+ b 2α1 (x) −b1α2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
2 |
b2 +b |
2 |
α |
2 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
b2 α1 (x) −b1α2 (x) |
|
|||||||||
|
Обозначим последнюю дробь α(x) = |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 +b |
2 |
α |
2 |
(x) |
|
||
|
|
f1 (x) |
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
тогда |
|
= |
|
|
|
+ α(x). Остается показать, что α(x) – б.м. при |
||||||||||||||||||||||||||
|
f2 (x) |
b2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x → a. Действительно, числитель дроби b2α1(x) – b1α2(x) – б.м. по свойствам бесконечно малых функций, предел
lim (b22 + b2α2(x)) = b22 ≠ 0, на основании теорем 3, 4. Поэтому
x→a
|
|
1 |
|
|
– функция,ограниченная при x → a (по теореме 3 |
|
b2 |
+b |
2 |
α |
2 |
(x) |
|
2 |
|
|
|
|
||
разд. 1.6). Значит, α(x) – б.м. при x → a (по теореме 4 разд. 1.6). Теорема доказана.
Теорема 6. Если |
lim f (x) существует и f (x) ≥ 0 для всех |
||||
|
|
x→a |
|
|
|
x из области определения функции, то lim f (x) ≥ 0. |
|||||
Доказательство. |
Пусть |
x→a |
|
методом от |
|
a = +∞. Докажем |
|||||
противного, предполагая, что |
lim f (x) = b < 0. |
Зафиксируем |
|||
|
|
|
x→∞ |
|
|
ε = – b 2 , ε > 0. |
По определению предела по ε |
найдется x0, |
|||
такое, что x > x0 |
|f(x) – b| < ε, |
отсюда b – ε < f (x) < b + ε. Но |
|||
ε = – b 2 , поэтому x > x0 f(x) < b – b 2 , |
f(x) < b 2 , т.е. |
||||
f(x) < 0, что противоречит условию. Теорема доказана. |
|||||
Теорема 7. Если x (f1(x) ≥ f2(x)) и |
lim f1(x), lim f2(x) |
||||
|
|
|
|
x→a |
x→a |
существуют, то lim f1(x) ≥ lim f2(x). |
|
|
|||
x→a |
x→a |
|
|
|
|
29
Доказательство. Рассмотрим функцию
F(x) = f1(x) – f2(x), тогда x (F (x) ≥ 0) и lim F(x) существует.
x→a
По теореме 6: lim F(x) ≥ 0, |
lim (f1(x) – f2(x)) ≥ 0, |
отсюда |
|
|
x→a |
x→a |
|
lim f1(x) ≥ lim f2(x). Теорема доказана. |
|
||
x→a |
x→a |
|
|
1.9. Сравнение бесконечно малых функций. |
|
||
|
Эквивалентные бесконечно малые функции |
||
Пусть α(x) и β(x) – б.м. |
функции при x → a |
(x→ + ∞, |
|
x → –∞, |
x → x0, ...). Рассмотрим предел их отношения при |
||
x → a. |
|
|
|
1. Если lim α(x) = b и b – конечное число, b ≠ 0, то
x→a β(x)
функции α(x), β(x) называются бесконечно малыми одного по-
рядка малости при x → a.
2. Если lim α(x)
x→a β(x)
лой высшего порядка, чем β(x) при x → a. Очевидно, в этом
случае lim β(x) = ∞.
x→a α(x)
3. Если α(x) – б.м. высшего порядка, чем β(x), и
lim |
α(x) |
= b ≠ 0 (b – конечное число, k N), то α(x) назы- |
|
||
x→a (β(x))k |
|
|
вают бесконечно малой k-го порядка, по сравнению с β(x) при x → a.
4. Если не существует lim α(x) |
(ни конечный, ни |
x→a β(x) |
|
бесконечный), то α(x), β(x) называют несравнимыми б.м. при x → a.
30