Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

Функция определена

при

x ] −∞,0]

и

]1,+∞[ . По-

скольку

 

lim f (x) = lim

x3

= ∞, то прямая х = 1 является

 

x −1

 

 

x→1+0

 

x→1+0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вертикальной

асимптотой

кривой.

Так

как

lim

x3

 

= ∞ и

x −

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

 

 

 

lim

x3

 

= ∞, то горизонтальных асимптот кривая не имеет.

x −

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем наклонные асимптоты:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

k = lim

 

x −1

= lim

x −1

=1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

 

x

x→+∞

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b =

 

 

x3

 

 

 

x( x −

x −1)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

x −1

− x = lim

 

 

x −

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

x(x − x +1)

 

= lim

 

 

1

 

 

 

 

 

=

1

 

x→+∞

x −1(

x + x −1)

 

x→+∞

 

1

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −

1

+

1

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно, наклонная асимптота имеет вид у = x + 12 .

221

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

2) k = lim

 

 

x −1 ,

 

 

 

b =

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x

 

 

 

 

 

x→−∞

 

 

x

 

 

 

 

 

x→−∞

 

x −1

 

 

 

 

 

 

Сделаем замену: x = -t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x → −∞,

t

→ ∞, тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

t 3

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

k = lim

 

 

t +1 = −lim

t

= −lim

 

 

 

= −1,

 

 

 

t→∞

 

 

−t

 

 

t

→∞

+1

 

 

 

 

t→∞

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

t

3

 

 

 

 

 

 

 

 

t( t − t +1)

 

 

 

 

 

 

t(t −t −1)

 

 

 

 

 

−t

 

= lim

= lim

 

 

 

=

 

b = lim

t +

1

 

 

 

 

 

t +1

 

 

 

 

t +1( t + t +1)

 

 

 

 

 

 

t→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t→∞

 

 

t→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −lim

1

1

 

 

1

= −

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t→∞

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

 

 

 

1

+

1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно,

наклонная

асимптота

имеет

вид y = −x −

1

.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График функции и асимптоты показаны на рис. 2.51.

Рис. 2.51

222

13.3. Найти асимптоты кривых: а) x =

 

1

,

y =

 

t

 

 

;

 

t

−1

 

 

 

et

 

 

 

 

tet

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

б) x =

 

 

 

, y =

 

 

; в) ρ =

a

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

−t 2

 

1

−t 2

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

а) При

t → 0

x → ∞; y =

0

 

 

= 0 ,

 

следова-

0 −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тельно, кривая имеет горизонтальную асимптоту y = 0. При t →1: x →1; y → ∞ следовательно, кривая имеет вертикаль-

ную асимптоту x = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

При

t → ±1 функция

обращается

Ищем уравнения наклонных асимптот:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tet

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k = lim

1 −t 2

= ±1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t→±1

 

 

et

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

te

t

 

 

 

 

 

 

e

t

 

 

 

 

 

 

 

t

(t −1)

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

e

= lim

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 −t

2

 

 

 

 

 

 

 

t→1 1 −t

 

 

 

 

 

 

 

t→1 (1 −t)(1 + t)

 

 

te

t

 

 

 

 

 

e

t

 

 

 

 

 

 

 

 

t

(t +

1)

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

e

 

= lim

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −t

2

 

1 −t

2

 

(1 −t)(1

+ t)

 

t→−1

 

 

 

 

 

 

t→−1

в бесконечность.

= −lim

et

= −

e

,

1 + t

2

t→1

 

 

=e−1 = 1 , 2 2e

следовательно, наклонные асимптоты имеют вид y = x − 2e , y = −x + 21e .

в) Приведем уравнение заданное в полярных координа-

тах к параметрическому виду: x = a cosϕ ϕ , y = a sinϕ ϕ , где ϕ -

параметр. При ϕ → 0 x → ∞,у = а , т. к. lim

a sinϕ

= a . Следо-

ϕ

ϕ→0

 

вательно, кривая имеет горизонтальную асимптоту у = а (рис. 2.52).

223

Рис. 2.52

13.4. Найти асимптоты кривых: а) y3 = 6x2 + x3 ;

б) y =

x2

−1

x

.

 

 

Решение. а) Поскольку коэффициент при старшей степени у (т.е. при у3) равен 1, то вертикальных асимптот нет. Для нахождения наклонных асимптот подставим в данное уравнение y = kx + b , тогда получим

k 3 x3 + 3k 2 x2b + 3kxb2 + b3 − 6x2 − x3 = 0 .

Приравнивая к нулю коэффициенты при старших степенях x (т. е. при х3 и х2), получим систему

k 3 −1 = 0;

3k 2b − 6 = 0.

Из решения системы имеем k = 1, b = 2. Таким образом, кривая имеет одну наклонную асимптоту у = х+2.

б) Так как функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = 0, то прямая х = 0 является вертикальной асимптотой кривой. Найдем наклонные асимптоты:

 

x

2

−1

 

 

 

 

 

x

2

−1

 

 

k = lim

 

= 0,

b =

 

 

 

 

=1,

x

2

lim

 

x

 

− 0 x

x→±∞

 

 

 

 

x

→+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

−1

 

 

 

 

 

 

 

b =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

x

−

0 x .

 

 

 

 

 

 

x

→−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

224

 

 

 

 

 

Сделаем замену: x = −t, x → −∞,

t → ∞, тогда

 

 

 

b = lim

t 2 −1

= −1.

 

 

 

 

 

 

−t

 

 

 

 

 

 

t→∞

 

 

 

3x2 − 2

 

 

 

Если найти вторую производную

′′

 

 

 

и

 

 

3

 

f (x) = −

 

 

 

 

 

 

x3 (x2 −1)

 

2

 

учесть выпуклость, вогнутость и точки перегиба

x = ± 2

 

,

то

 

 

 

 

 

3

 

 

 

можно построить асимптоты и график функции (рис. 2.53).

Рис. 2.53

2.14. Исследование функции и построение графиков

При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется примерная схема:

1. Определить область существования функции. Найти точки разрыва функции и односторонние пределы в точках разрыва.

2. Выяснить, не является ли функция периодической, четной или нечетной, т. е. не симметричен ли график относительно оси ординат или начала координат.

225

Источник: https://studfile.net/preview/16565748/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27