Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

10.Показать, что треугольник с вершинами в точках А(1; -2; 1), В(3; -3; -1) и С(4; 0; 3) прямоугольный. Найти его периметр.

11.Прямая проходит через точки А(3; -1; 0) и В(х; -7; 3) и

параллельные прямые?

3.Через точку P(-2; 1) проведена прямая так, что её расстояние от точки С(3; 1) равно 4. Найти угловой коэффициент этой прямой.

4.Построить треугольник, стороны которого заданы

площадь треугольника.

5. Найти расстояние от точки М(2; 1; 1) до плоскости, проходящей через точку N(-1; -1; 2) и перпендикулярной плоскостям x − 2y + z − 4 = 0 и x + 2y-2z + 4 = 0 .

216

6.Через точку N(3; 9; -4) проведены две плоскости: одна из них содержит ось ОY, другая – OZ. Вычислить угол между этими плоскостями.

7.Плоскость проходит через точки А(3; 1; 1), В(-7; 12 ; 0) и

Вариант 16

1.Даны вершины треугольника: А(-1; 6), В(-5; -2) и С(1; 0). Показать, что этот треугольник прямоугольный. Найти центр описанной около него окружности и её радиус.

2.Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую 3x −6y +5 = 0 , а также координаты

основания этого перпендикуляра.

3. Диагонали ромба длиной в 30 и 16 ед. приняты за оси координат. Вычислить расстояние между параллельными сторонами этого ромба.

217

4.Найти уравнение прямой, проходящей через точку

9.Проверить, лежат ли на одной прямой следующие три

перпендикулярны? При n = -3 найти угол между ними. 11. Составить уравнения прямой, проходящей через точку

М(3; -1; -4), пересекающей ось ОY и параллельной плоскости y + 2z = 0 .

Вариант 17

1.Даны вершены четырехугольника: А(2; 4), B(-3; 7), С(-6; 6), D(-1; 3). Доказать, что данный четырехугольник - параллелограмм.

2.Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a

218

и b , чтобы прямые ax +by +1 = 0, 2x-3y +5 = 0 и x-1 = 0 проходили через одну и ту же точку?

3.На оси абсцисс найти точку, которая отстоит от прямой

3x + 4y = 1 на расстоянии 3 единиц.

4.Составить уравнения катетов прямоугольного

равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы y = 3x +5 и вершину прямого угла (4; -1).

5.Дан тетраэдр с вершинами: K(1; 1; 2), L(-1; 1; 3), М(2; -2; 4), N(-1; 0; -2). Найти длину высоты, проведенной из вершины N, и угол между гранями КLM и LМN.

6.Из точки Р(-1; 1; 4) опущен на плоскость перпендикуляр, основанием которого является точка Q(2; 1; 3). Составить уравнение плоскости в нормальном виде и указать особенности в её расположении.

7.Составить уравнение плоскости, проходящей через ось OZ перпендикулярно плоскости, проходящей через точку А(6;

-1; 2) и отсекающей на оси абсцисс отрезок а = -3, а на оси аппликат - отрезок с = 4.

8. Написать канонические уравнения прямой:

2x −3y + z + 6 = 0,x −3y − 2z +3 = 0 .

9.Дан треугольник с вершинами А(1; 2; -4), В(4; 0; -10) и С(- 2; 6; 8). Найти угол между медианой, проведенной из вершины А, и стороной ВС.

10.Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

координаты: А(-6; -4), B(-4; 8), С(-1; 5), причем А и С -

противоположные вершины. Определить координаты четвертой вершины параллелограмма и уравнения его диагоналей.

2.Даны две точки: А(-3; 1) и B(3; -7). На оси ординат найти такую точку M, чтобы прямые AM и ВМ были перпендикулярны друг другу.

3.На оси ординат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от прямой 3x − 4y +12 = 0 .

4.Найти острый угол между прямой 5x + 2y =1 и прямой,

параллельны, и найти расстояние между ними.

6.Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОУ и отсекающей на осях ОX и OZ отрезки, равные 2 и 3 ед.

Найти угол между построенной плоскостью и плоскостью

4x −3y − z + 2 = 0 .

7.Проверить, можно ли провести плоскость через

точку А(1; 2; 3) и точку пересечения указанной прямой с плоскостью 3x − y + 2z −5 = 0 .

220