Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

10.Найти направление прямой, одновременно перпендикулярной к оси OZ и к прямой, проходящей через две точки: А(1; -1; 4) и В(-3; 2; 4).

11.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

x + 2y − z + 4 = 0,

М(-3; 1; 0) и через прямую .

3x − y + 2z −1 = 0

Вариант 19

1. Противоположные вершины ромба находятся в точках B(- 2; 2) и D(0; -3). Составить уравнения диагоналей этого ромба.

2. При каком значении m прямые mx + (1− m) y −3 = 0, 2x −3y −5 = 0 и 7x +5y-2 = 0

проходят через одну точку? Найти эту точку.

3.Через точку Р (5; 0) провести касательную к окружности

x2 + y 2 = 9 .

4.Через точку А (-3; -5) проходят прямые: АС, параллельная

оси ОУ , и А В, образующая угол α = arctg 12 с осью ОХ.

Найти угол между указанными прямыми.

5.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(4; 6; -3), B(-2; -1; 7) и отсекающей равные отрезки на осях ОУ и OZ. Найти расстояние от точки С(5; -7; 8) до построенной плоскости.

6.Найти угол между плоскостями α и β, где α проходит через точку А(5; -1; 3) параллельно плоскости YOZ, a β -

через точки В(0; 1; 1), С(1; 0; -2), D(4; -2; -3).

7.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки

221

9. Найти угол между прямой, лежащей в плоскости XOY и образующей с осью ОX угол 30°, и прямой, лежащей в плоскости XOZ и образующей с осью ОХ угол 60°.

10. Провести через точку пересечения плоскости

абсцисс отрезок, равный 4 единицам.

3.На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от прямых

x+3y + 2 = 0 и 3x-y +1 = 0 .

параллельно плоскости 20x − 4y −5z + 7 = 0 .

222

6. Найти угол между плоскостями α и β, где α. проходит через точку М(3; -1; -2) параллельно плоскости XOZ , a β

отсекает на осях координат отрезки a = 2, b = -4, с = 12 .

7.Принадлежат ли одной плоскости четыре точки: А(3; 1; 0),

3x − y + 4z −12 = 0 с координатными плоскостями. Найти

угол наклона медианы треугольника, проведенной из вершины, лежащей на оси ОZ, к плоскости ХОY.

10. Даны вершины треугольника: А(4; 1; -2), В(2; 0; 0) и С(-2; 3; -5). Составить уравнение его высоты, опущенной из вершины В на противолежащую сторону.

11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(3;

x = 2 + 4t,

5; 1) параллельно прямой y = −3t, .

z = −3

Вариант 21

1.Дан четырехугольник с вершинами: А(-2; -3), B(-1; 4), С(3;

3)и D(6; -1). Найти точку пересечения его диагоналей.

окажутся перпендикулярными?

3. Через начало координат и точку М (1; 3) проходят две параллельные прямые. Найти их уравнения, если известно,

что расстояние между этими прямыми равно 5 .

4. Прямая АВ отсекает на положительных полуосях OX и OY отрезки, соответственно равные 8 и 12 ед. Прямая CD проходит через точку С (-2; 0) и отсекает на оси ОУ отрезок b = 3. Найти угол между прямыми.

223

5.Найти абсциссу точки А(х; 1; 8) при условии, что расстояние от неё до плоскости, проходящей через точки В(7; 2; 4), С(7; -1; -2) и D(-5; -2; -1), равно 3 ед.

6.Найти угол между плоскостями α и β, где α проходит

7. Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОХ и OZ углы α = γ = 60°, а с осью ОУ - острый угол. Составить уравнение плоскости при условии, что она проходит через точку М (1; 1; -1). Проверить, будет ли искомая плоскость параллельна плоскости

9.Найти отношение, в котором координатная плоскость ХОY делит отрезок между точками А(-1; -4; 4) и B(1; 2; - 5). Определить точку пересечения прямой АВ с плоскостью ХОY и угол между ними.

10.Проверить, что четырехугольник, вершины которого

находятся в точках А(5; 2; 6), В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) и D(3;

Вариант 22

1.Даны вершины треугольника: А(2; 1), В(-2; 3), С(0; 3).Найти уравнения медиан треугольника и их длины.

2.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2; -

224

Найти углы, образованные диагональю АС со сторонами АВ и АD.

5.Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси ОУ

отрезок b = -3 и перпендикулярной к вектору N = {5; −1; 2}. Найти расстояние от точки А(-2; -4; 3) до построенной плоскости.

6.Через точку А(-2; 4; 8) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX , другая - OZ. Вычислить угол между этими плоскостями.

7.Плоскость α проходит через точки А(х; 1; 2), В(-2; 1; 1),

9.Вершины треугольника находятся в точках А(1; -2; 8), В(0; 0; 4) и С(6; 2; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через вершину В параллельно стороне АС, и определить внутренние углы треугольника.

10.Найти расстояние от точки М(1; 3; 5) до прямой, по