Материал: Приближенные методы-Буханько АА

x

y x

f x

K x, s y(s)ds ,

a

x

0 x

f x ,

n x

K x, s

n 1 s ds n 1, 2

,

a

откуда

n

x

M n N b

a n

n

0,1, 2,

,

(3.10)

n!

K

x, s

M ,

f x

N

при

a

x

b,

a

s b.

Следовательно, ряд (3.9) сходится при любом

и дает единственное реше-

ние уравнения (3.4). Погрешность приближенного решения

n

Yn x

k

k x

k 0

на основании оценок (3.10) определяется формулой

y x

Y

x

N

M b

a

k

N

eM b

a

M b

a

k

n

.

n

k !

k !

k

n 1

k

0

1

y

s

y x

x

ds 0 x 1 .

0

10 x s

Полагая y

x

n

n x

, имеем

n 0

0 x

f

x

x,

b

1

s

11 x

1 x

K x, s

0 s ds

ds 1 10 x ln

.

0 10

a

x s

10 x

y x

0 (x)

1 (x) x

1 (10

x) ln 1

1

.

10

x

Здесь

M

max K

x, s

max

1

0,1 N

max f x

max x 1 .

10 x s

a x b

0 x 1

a x b

0 x 1

a s b

0 s 1

Следовательно, полученный ряд сходится при

1

10 . В частно-

0,1 1

0

сти, при

1 на основании (3.7) точность решения будет

y(x) y1 (x)

1

0,1 1 1 2

0, 01 .

1

0,1 1 1

b

n

F

x dx

Ai F xi

R F

,

(3.11)

a

i

1

где xi i

1, n

- абсциссы точек отрезка [a,b] ;

Ai

i

1, n - числовые коэф-

фициенты, не зависящие от выбора функции F(x) ;

R F

- остаточный член

n

(ошибка) формулы (3.11). Обычно

Ai

0 и

Ai

b

a . В случае равноот-

i 1

b

a

, имеем:

стоящих точек x a

ih

i 0, n

1 , где h

i

n

1) для формулы прямоугольников

0 ;

Ai

h

i

1, n

1 ,

An

h

2) для формулы трапеций

A

A

,

A

h

i

1, n 1 ;

0

n

2

i

3) для формулы Симпсона

при n

2m,

h

b

a

,

2m

A A

h

, A A

A

4h

, A A

A

2h

.

0

2m

3

1

3

2m 1

3

2

4

2m 2

3

b

y x

K x, s y(s)ds f x

a x b .

a

Выбирая

точки

x i

[a,b]

и

обозначая

y xi

yi , K

xi , x j Kij ,

f xi

fi

i, j

1, n

на основании формулы (3.11)

будем иметь

n

yi

Aj Kij y j

fi

Ri

i 1, n ,

j

1

где Ri

- соответствующие ошибки. Отбрасывая в этой системе величины Ri ,

yi решения y x

для приближенных значений

в узлах x i , i

1, n получим

линейную систему алгебраических уравнений:

n

yi

Aj Kij y j

fi

i

1, n .

(3.12)

j

1

Вводя символы Кронекера

1, i

j

и учитывая, что yi

ij y j (немой

ij

0, i

j

индекс j – индекс суммирования), систему (3.12) можно записать в виде

n

ij

Aj Kij

y j

fi

i

1, n .

(3.13)

j 1

Если

det ij

Aj Kij

0 ,

(3.14)

то система (3.13) имеет единственное решение

yi , которое можно найти ме-

тодами решения систем алгебраических уравнений.

Найдя yi

( i 1, n ) для решения

y(x) , получаем из уравнения (3.2) при-

ближенное аналитическое выражение

n

y x

f x

Aj K x, x j y j .

j 1

Замечание: метод конечных сумм дает хорошие результаты, если ядро

K x, s

и правая часть f

x

достаточно гладкие функции.

В этом случае приближенные значения

yi

решения y x в узлах x i , i 1, n

определяются из системы

n

Aj Kij y j

fi

i 1, n .

j 1

x

y x

K x, s y(s)ds f x a x b ,

a

Kij 0 при j i и, следовательно,

соответствующая система (3.12)

имеет

вид

i

y

A(i) K

ij

y

j

f

i

i 0, n .

(3.15)

i

j

j

0

y x

x

1

0,5

x

s y

s ds

0,5x2

ln x

3,5 .

(31)

1

x

Для формулы трапеций для каждого i -го шага ( i

0,5 ) будем иметь

A0(i )

Ai(i )

h

, A(ji )

h

j i

j 1, 2, 3, 4 .

2

Полагая в уравнении (31) x

x

(i

0,5) , получим

i

y0

f0 ,

xi

1

y

0,5

x

s

y s

ds

0,5x2

ln x

4 i

1, 2,3, 4,5 .

i

xi

i

i

i

1

Применяя к определенным интегралам формулу трапеций с шагом h

0, 2 ,

согласно (3.15) получим систему уравнений

y0

f0 ,

y

A(1) K y

A(1) K

y

f ,

1

0

10

0

1

11

1

1

y

A(2) K

y A(2) K

21

y A(2) K

22

y

2

f

2

,

2

0

20

0

1

1

2

y

A(3) K

30

y

A(3) K

31

y

A(3) K

32

y

2

A(3) K

33

y

f

3

,

3

0

0

1

1

2

3

3

y

A(4) K

y A(4) K

41

y A(4) K

42

y

2

A(4) K

y A(4) K

44

y

4

f

4

,

4

0

40

0

1

1

2

3

43

3

4

y

A(5) K

50

y

A(5) K

51

y

A(5) K

52

y

2

A(5) K

53

y

A(5) K

54

y

4

A(5) K

55

y

5

f

5

,

5

0

0

1

1

2

3

3

4

5

где

A0(1)

A1(1)

A0(2)

A2(2) A0(3)

A3(3)

A0(4)

A4(4)

A0(5)

A4(5)

h

0,1; а ос-

2

тальные

A(ji)

h 0, 2

для

всех j i .

Составляем

таблицу

значений

1

0,5x2

K

ij

0,5 x

x

j

,

f

i

ln x

4

( i

0,5 ) (табл. 3.1)

и из получен-

xi

i

i

i

ной системы последовательно находим

y0

f0

4, 0000,

y1

f1

0,1K10 y0

1

0,1K11

1

3, 3825,

y2

f2

0,1K20 y0

0, 2K21 y1

1

0,1K22

1

3, 0118,

y3

f3

0,1K30 y0

0, 2

K31 y1

K32 y2

1

0,1K33

1

2, 7719,

y4

f4

0,1K40 y0

0, 2

K41 y1

K42 y2

K43 y3

1

0,1K44

1

2, 6077,

y5

f5

0,1K50 y0

0, 2

K51 y1

K52 y2

K53 y3

K54 y4

1

0,1K55

1

2, 4906.

Таблица 3.1 – Значения коэффициентов

i

K1i

K2i

K3i

K4i

K5i

fi

0

0,9333

0,9143

0,9250

0,9556

1,0000

4,0000

1

0,8333

0,8143

0,8250

0,8556

0,9000

4,0377

2

0,7143

0,7250

0,7556

0,8000

4,1435

3

0,6250

0,6556

0,7000

4,3100

4