Материал: Приближенные методы-Буханько АА

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

u11(k 1)

u21(k 1)

u31(k 1)

1	u( k )	u( k )	u( k )	u( k )	h2	f ,

4	21	01	12	10	4		11

1	u( k )	u( k )	u( k )	u( k )	h2	f		,
							21
4	31	11	22	20	4

1	u( k )	u( k )	u( k )	u( k )	h2	f		.
							31
4	41	21	32	30	4

Подставляя соответствующим образом значения в граничных узлах (см. рис.

2.6) и значения функции f (x, y)	xy		в каждом внутреннем узле, получим
u(k 1)	1	u(k )		107			,
11	4		21		64
u(k 1)	1		u(k )		u(k )			31	,
21	4		31	11			32
	4						32
u(k 1)	1	u(k )			77	.
31	4		21	64

В качестве начального приближения выберем u(0)	u(0)	u(0)	0 . Результаты
11	21	31

вычислений по полученной системе итерационных соотношений представлены в табл. 3.1.

Таблица 3.1 – Результаты итерационного процесса для примера 2.4

k	0	1	2	3	4	5	6	7	ui(7)1	ui(6)1

u11	0	1,6719	1,9141	2,0938	2,1240	2,1465	2,1503	2,1531	0,0028
u21	0	0,9688	1,6875	1,8086	1,8984	1,9136	1,9248	1,9267	0,0019
u31	0	1,2031	1.4453	1,6250	1,6553	1,6777	1,6815	1,6843	0.0028

По результатам вычислений видно, что заданная точность вычислений 0,01 была достигнута на 7-й итерации – на этом процесс останавливается.

Формулы (2.20) – (2.25) используются для задачи Дирихле в случае, когда граница области G прямоугольной формы. Если граница криволинейна, то значения uij для граничных узлов получаются путем переноса значений

из точек границы [1-3]. Погрешность, получаемую в результате такого переноса, можно значительно уменьшить, если для каждого граничного узла составлять уравнения следующего вида:

- для узла вида Ah	(рис. 2.7)
uA		1uB	huA	;
uA			h	;
h			h
h
	1
- для узла вида Ch	(рис. 2.7)
u		2uD	huC	.
C

	h		h
Рис. 2.7.		2
Рис. 2.7.	Получив одно из таких уравнений для каждого гра-
	Получив одно из таких уравнений для каждого гра-
	ничного узла и присоединив его к любой из систем

конечно-разностных уравнений (2.21) – (2.25), получим систему алгебраических уравнений относительно значений uij в узлах сетки. Если эту систему

решать методом Либмана, то последовательные приближения граничных значений будут вычисляться по формулам

u(k 1)

u(k )

, u(k 1)

u(k )

3 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Интегральное уравнение – уравнение, содержащее неизвестную функцию y x под знаком определенного интеграла. Наиболее часто встречающиеся

линейные интегральные уравнения, в которых неизвестная функция входит линейно (в первой степени) – интегральные уравнения Фредгольма первого и второго рода соответственно:

	b
	K	x, s	y(s)ds	f x	,		(3.1)
	a
		b
y	x	K x, s y(s)ds			f	x ,	(3.2)
		a
где K x, s (ядро) и f x	– известные функции,					– числовой параметр4.
Интегральные уравнения вида
	x
		K x, s y(s)ds		f	x ,		(3.3)
	a
		x
y	x	K	x, s y(s)ds		f	x	(3.4)

называются интегральными уравнениями Вольтерра первого и второго рода

соответственно. Вводя функцию

K x, s при a s x,

K x, s

0 при s x,

уравнения Вольтерра (3.3) и (3.4) можно свести к уравнениям Фредгольма с

ядром K x, s .
Замечание: если ядро	K x, s и функция f x - непрерывно дифферен-
цируемые, причем K x, x	0 при a x b , то уравнение Вольтерра перво-

го рода (3.3) сводится к уравнению Вольтерра второго рода (3.4).

4 Интегральное уравнение (3.2) не всегда имеет решения при данном значении параметра . Варьируя параметр , можно добиться того, чтобы решение уравнения (3.2) существовало.

К линейным интегральным уравнениям может быть приведено большое количество задач математической физики. Основными проблемами здесь являются:

1) нахождение приближенного или точного решения неоднородного интегрального уравнения при заданном значении параметра ;

2) нахождение собственных значений и соответствующих собственных функций однородного интегрального уравнения.

3.1 Метод последовательных приближений

Рассмотрим уравнение Фредгольма второго рода (3.2) в виде

				b
		y x	f x	K x, s y(s)ds ,
				a
где функции K x, s		f x	непрерывны. Будем искать решение этого урав-
нения в виде степенного ряда (по степеням					):
y x	n	n x	0 (x)	1 (x)	2	n	(x)	(3.5)
y x		n x	0 (x)	1 (x)	2 (x)	n	(x)	(3.5)
	n 0

Подставляя выражение (3.5) в интегральное уравнение (3.2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим

x	f	x ,
	b
x	K	x, s 0 s ds,
	a

..........................................

(3.6)

n x

K x, s

n 1 s ds,

..........................................

x, s

M и

N в области

R a

x b, a s b . Из

Пусть

M n N b

a n , и сходимость

формул (3.6)

по индукции получаем

ряда (3.5) будет обеспечена, если

Приняв

M b

y(x)

получим приближенное решение интегрального уравнения (3.2) с погрешностью

k n 1

y x

yn x

k n 1

k N

M b

n 1

(3.7)

N M b

M b

Формула (3.5) дает аналитическое относительно						решение уравнения
Фредгольма (3.2) в окрестности точки		0 . Из формул (3.6) вытекает, что
решение (3.5) можно записать в виде
		b
y x	f x	n 1 K	n		x, s f (s)ds
			n
	n 1	a
или
	b
y	x f x	R x, s, f (s)ds .				(3.8)
	a
Здесь функция
	R x, s,	n 1K		n	x, s
				n
	n	1

называется резольвентой уравнения (3.2), определяется данным степенным


рядом при малых		. Пользуясь аналитическим продолжением, резольвенту
R x, s,	можно продолжить на всю комплексную плоскость параметра ,
за исключением собственных значений 1 , 2 ,			(особые точки), которые

являются полюсами резольвенты. Тогда формула (3.8) дает решение уравне-

ния (3.2) при любом	k (k 1, 2	) .
Коэффициенты Kn	x, s , так называемые итерированные ядра, могут
быть найдены последовательно по формулам
	K1 x, s	K x, s ,
		b
	K2 x, s	K x,t K1 t, s dt,
		a
	...............................................
		b
	Kn x, s	K x,t Kn 1 t, s dt,
		a

...............................................

Рассмотрим теперь соответствующее уравнение Вольтера (3.4):

Источник: https://studfile.net/preview/15721948/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)