Материал: Приближенные методы-Буханько АА

n

R x, c1, c2 , , cn L u0

f x

ci L ui ,

(1.27)

i

1

называемую невязкой. Коэффициенты ci

выбираются таким образом, чтобы

значение интеграла от квадрата невязки

b

R2 x, c , c ,

, c dx

1 2

n

n

ci aki

bk

k

1, n

,

(1.28)

i 1

b

b

где aki

uk x L ui dx, bk

uk x

f

x

L u0

dx.

Подставив коэффи-

a

a

y

1

y 0,5y 0,5x2

ln x 4 ,

(11)

x

y (1) 0, y(2) 2, 6137 .

(15)

u

(x) 2, 6137;

u (x)

x2 2x;

u

(x)

x3 3x 2;

0

1

2

(16)

u (x) x4

4x 8;

u

4

(x)

x5 5x

22.

3

4

y x u0 x

ciui x .

i 1

L u

u

1

u

0,5u 0,5 2,3167 1,3069 ;

0

0

x 0

0

L u

u

1

u 0,5u 0,5x2

x 4

2

;

1

1

x 1

1

x

L u

u

1

u 0,5u 0,5x3

0, 75x 1

3

;

2

2

x 2

2

x

L u

0,5x4

16x2

2x 4

4

; L u

0,5x5

25x3

2,5x 11

5

;

3

x

4

x

f (x) L[u ]

0,5x2

ln x

2,6931 .

0

Коэффициенты aki , bk

равны

2

2

2

a

u

x L u

dx

x2

2x

0,5x2

x

4

dx

1, 4 ;

11

1

1

x

1

1

2

2

3

a

u

x L u

dx

x2

2x

0,5x3

0,75x

1

dx

5,6583 ;

2

12

1

x

1

1

2

2

a13

u1

x L u3

dx

15, 7286;

a14

u1

x L u4

dx

37,5804;

1

1

2

2

a21

u2

x L u1

dx

5,8024;

a22

u2

x L u2

dx

23,5697;

1

1

2

2

a23

u2

x L u3

dx

65,8673;

a24

u2

x L u4

dx

158, 2392;

1

1

2

2

a31

u3

x L u1

dx

16,5382;

a32

u3

x L u2 dx

67,527;

1

1

2

2

a33

u3 x L u3

dx

189,7447;

a34

u3

x L u4

dx

458, 4015;

1

1

2

2

a41

u4

x L u1

dx

40, 4819;

a42

u4

x L u2 dx

166,142;

1

1

2

2

a43

u4 x L u3

dx

469,3888;

a44

u4

x L u4

dx

1140,3115;

1

1

2

b

x2

2x

0,5x2 ln x

2,6931 dx

2, 2435;

1

1

2

b

x3

3x

2

0,5x2

ln x

2,6931 dx

9, 2681;

2

1

2

b

x4

4x

8

0,5x2

ln x

2, 6931 dx

26,3291;

3

1

2

b

x5

5x

22

0,5x2

ln x

2, 6931 dx

64, 2376.

4

1

1, 4c1

5, 6583c2

15, 7286c3

37,5804c4

2, 2435,

5,8024c1

23,5697c2

65,8673c3 158, 2392c4

9, 2681,

16,5382c1

67,527c2

189, 7447c3

458, 4015c4

26,3291,

40, 4819c1

166,142c2

469,3888c3

1140,3115c4

64, 2376,

решением которой являются коэффициенты

c1

1,5614, c2

0, 7661,

c3

0, 4495,

c4

0, 0743 .

Таким образом, согласно (1.26) и (16) получили

приближенное решение ис-

ходной задачи:

y(x)

3,9946x 1,5614x2

0,7661x3

0, 4495x4

0,0743x5 3,0429 . (17)

В табл. 1.5 приведены значения точного решения y(x)

x2 2ln x ,

получен-

ного приближенного решения и приближенного решения

y

x

2, 9585x

0, 924x2

0, 5567x3

0,1399x4

2, 6195 ,

полученного с помощью базисных функций u i

системы (16).

1,3

i

Таблица 1.5 – Точное и приближенные решения задачи (11), (15)

x

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

y(x)

1,0000

1,0754

1,2871

1,62

2,0644

2,6137

y(x)

1,0006

1,0744

1,2858

1,6199

2,0647

2,6137

y(x)

1,0018

1,0717

1,2788

1,6147

2,066

2,6137

y

1

y 0,5y 0,5x2

ln x 4 ,

x

удовлетворяющее краевым условиям:

y(1)

1,

y(2)

2, 6137 .

(18)

В качестве системы базисных функций выберем функции вида

u (x) 1, 6137x 0, 6137;

u (x)

x

1

x

2 ; u

2

(x)

x 1 2

x 2 ;

0

1

(19)

3 x 2 ; u

x 1 4 x 2 .

u (x)

x 1

4

(x)

3

Аналогично примеру 1.5 определяем функции L ui

и коэффициенты

i

1, 4

aki , bk . Получим:

L u

0,807x

1, 614

0,307;

L u

1,5x

0,5x2

3

5;

0

x

1

x

L u

0,5x3

2x2

11,5x

17

5

;

2

x

L u

0,5x4

2,5x3 20,5x2

48,5x

37

7

;

3

x

L u

0,5x5

3x4

32x3

104x2

130.5x

65

9

;

4

x

f

x

L u

0,5x2

0,807x

ln x

1, 614

4,307 ;

0

x

a11

0, 309;

a12

0,144;

a13

0, 083;

a14

0, 054;

a21

0,166;

a22

0,127;

a23

0, 093;

a24

0, 07;

a31

0,104;

a32

0, 099;

a33

0, 083;

a34

0, 068;

a41

0, 072;

a42

0, 077;

a43

0, 071;

a44

0, 062;

b1

0, 459;

b2

0, 236;

b3

0,144;

b4

0, 097.

0,309c1

0,144c2

0, 0836c3

0, 054c4

0, 459,

0,166c1

0,127c2

0, 093c3

0, 07c4 0, 236,

0,104c1

0, 099c2

0, 083c3

0, 068c4

0,144,

0, 072c1

0, 077c2

0, 071c3

0, 062c4

0, 097.

Откуда коэффициенты ci

равны:

c1

1, 613,

c2

0,371, c3

0, 206,

c4

0, 062 .

Приближенное решение задачи (11), (18) имеет вид

y(x)

0,062x5

0,578x4

2, 269x3 5,943x2

7,08x 3,89 .

В табл. 1.6 приведены значения точного решения

y(x) x2 2ln x ,

получен-

ного

приближенного

решения

y(x)

и

приближенного

решения

y x

0,113x4

0,897x3

3, 953x2

5, 661x

3, 492 , полученного с помощью

базисных функций ui (i

1,3)

из выбранной для решения системы.

Таблица 1.6 – Точное и приближенные решения задачи (11), (18)

x

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

y

x

1,0000

1,0754

1,2871

1,62

2,0644

2,6137

y

x

1,0000

1,0753

1,287

1,6199

2,0644

2,6137

y

x

1,0000

1,0754

1,2871

1,6203

2,0646

2,6137

R x1, c1, c2 ,

, cn

0,

R

x2 , c1, c2 ,

, cn

0,

(1.29)

R

xn , c1, c2 ,

, cn

0.