Документ: Приближенные методы-Буханько АА, страницы 21-25

Разрешая систему (1.29) относительно коэффициентов ci i 1, n и подстав-

ляя их в (1.26), получим функцию y x , дающую приближенное решение исходной краевой задачи.

Пример 1.7. Методом коллокаций найти приближенное решение уравне-

ния (11):

y

1

y 0,5y 0,5x2

ln x 4 ,

x

удовлетворяющее краевым условиям (15):

y (1)

0, y(2)

2, 6137 .

В качестве базисных функций возьмем функции системы (16):

u

0

(x)

2, 6137;

u (x)

x2

2x;

u

2

(x)

x3

3x

2;

1

u (x)

x4

4x

8;

u

4

(x)

x5

5x

22.

3

Выберем точки коллокации:

x1

1, 2,

x2

1, 4,

x3

1, 6,

x4

1,8 . Вычисляя

невязку R(x) по (1.27)

в точках коллокации и приравнивая нулю, получим

систему алгебраических уравнений относительно ci

(i

1, 4) :

1, 42c1

1, 0493c2

0, 7965c3

0,3406c4

2,5316,

1, 7371c1

0,1234c2

0, 6592c3

0.7391c4

2, 6681,

2, 005c1

1, 453c2

0,5418c3

0,1609c4

2,8173,

2, 2533c1

2,9138c2

2,8999c3

2,5190c4

2,9902.

Решая эту систему, находим коэффициенты

c1 1, 6102,

c2

0,3607,

c3

0,1918,

c4

0, 0568 ,

и приближенное решение задачи (11), (15) методом коллокаций согласно (1.26) принимает вид

y(x) 6,8742x

5,688x2

2,1149x3

0,5326x4 0,0568x5

3,8253 . (110)

1.6 Метод Ритца для простейшей краевой задачи

Путь дано линейное дифференциальное уравнение вида

d

(1.30)

p x y

q

x y

f x

dx

с краевыми условиям

y(a) A,

y(b)

B ,

(1.31)

p

x

0 при a x b .

где p x , q x , f x

C a,b

, причем

21

Краевая задача (1.30) – (1.31) при известных условиях эквивалентна ва-

риационной задаче для функционала вида

b

F y	p x y 2	q x	y2 2 f x dx	(1.32)
a
на множестве функций y x	C 2	a, b ,	удовлетворяющих краевым услови-

ям (1.31).

Для решения вариационной задачи (1.32), (1.31) применяем метод Ритца. Выбираем систему линейно независимых функций (координатные функции)

u0 (x), u1 (x), ,un (x) таких, что
u0 a	A, u0 b B,

ui a ui	b 0 i 1, n .

Решение вариационной задачи определяется в виде линейной комбинации базисных функций (1.26):

		n
	y x u0 x	ciui x ,
	i	1

где ci i 1, n - некоторые постоянные. Очевидно, что функция (1.26) удов-
летворяет заданным краевым условиям (1.31).
Коэффициенты c1 , c2 , , cn подбираются так, чтобы функция y(x) давала

экстремум функционалу (1.32). Подставим решение вида (1.26) в выражение

(1.32), получим квадратичную функцию переменных c1 , c2 ,

, cn :

b

n

2

n

2

F y

p x u0 x

ciui

x

q x u0 x

ciui

x

a

i 1

i

1

n

2 f x u0 x

ci ui x

dx

c1 , c2 ,

, cn .

i

1

Для того, чтобы дифференцируемая функция

(c1 , c2 , , cn ) при некоторых

значениях c1 , c2 ,

, cn имела экстремум,

необходимо выполнение следующих

условий:

0,

0.

(1.33)

c1

c2

cn

Система (1.33)

является линейной

относительно искомых коэффициентов

c1 , c2 , , cn , причем число уравнений равно числу неизвестных. Составив систему (1.33) и решив ее относительно c1 , c2 , , cn , найдем решение вариацион-

22

ной задачи, а следовательно и решение исходной краевой задачи по формуле

(1.26) .

Замечание: Определим связь функций p x , q x , f x и p x , q x , f x ,

входящих в уравнения (1.1) и (1.30) соответственно. Запишем уравнение

(1.30) в виде

p x y

p x y q x y f x ,

y

p

x

y

q

x

y

f

x

.

p

x

p

x

p

x

Сравнивая последнее уравнение с (1.1), получим

p x

,

q x

,

f x

,

p

x

p

x

p

x

откуда

e p x dx ,

e p x dx .

(1.34)

p x

q

x

q x

f

x

f

x

Пример 1.8. Методом Ритца найти приближенное решение уравнения

(11):

y

1

y 0,5y 0,5x2

ln x 4 ,

x

удовлетворяющее краевым условиям (15):

y (1)

0,

y(2) 2, 6137 .

Для того чтобы воспользоваться методом Ритца, найдем сначала функции

(1.34):

e p x dx

1

dx

e

x

x,

x

x2

p x

x, q x

,

f x

2 ln x 8 .

2

В качестве базисных функций также возьмем функции системы (16):

u

0

(x)

2, 6137;

u (x)

x2

2x;

u

2

(x)

x3

3x 2;

1

u (x)

x4

4x

8;

u

4

(x)

x5

5x

22.

3

Подставляя решение в виде (1.26) в функционал (1.32), получим:

2

x c 2x 2 c 3x2

3 c 4x3

4 c 5x4

c , c , c , c

5

1

2

3

4

1

2

3

4

x 2, 6137

1

2x

c

x3

3x

2

c

x4

4x

8

c

x5 5x

22

c x2

2

1

2

3

4

23

x x2 2 ln x 8	2, 6137 c x2	2x c x3	3x 2
	1	2
c x4	4x 8 c x5	5x 22 dx.
3	4

Согласно (1.33) получим систему алгебраических уравнений относительно

коэффициентов ci (i 1, 4) :

3,967c1 +16,524c2 +47,344c3 +116,496c4 =6,225,

16,524c1 +69,175c2 +199,213c3 +492,677c4 =25,849,

47,344c1 +199,213c2 +576,71c3 +1433,711c4 =73,818,

116,496c1 +492,677c2 +1433,711c3 +3582,702c4 =181,05,

решением которой являются

c1	4,0378,	c2	1,101,
c3	0, 2360,	c4	0,0238.

Тогда приближенное решение задачи (11), (15) методом Ритца согласно (1.26) принимает вид

y(x)	5,5976x 4,0378x2 1,101x3 0, 236x4 0,0238x5	3, 4513 . (111)
В табл.	1.7 приведены значения точного решения y(x)	x2 2ln x и

приближенных решений задачи (11), (15), полученных методами Галеркина (17), коллокаций (110) и Ритца (111).

Таблица 1.7 – Точное и приближенные решения задачи (11), (15)

		x	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0
	y	x	1,0000	1,0754	1,2871	1,62	2,0644	2,6137

y	x	, (17)	1,0006	1,0744	1,2858	1,6199	2,0647	2,6137
y	x	, (110)	1,0107	1,0854	1,2958	1,6268	2,0685	2,6137
y	x	, (111)	1,0027	1,0762	1,2862	1,6193	2,0648	2,6137

24

2 МЕТОД СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Метод сеток (метод конечных разностей) является одним из самых распространенных методов численного решения уравнений с частными производными. В его основе лежит идея замены производных конечноразностными отношениями. Для приближенного решения краевых задач для двумерных дифференциальных уравнений идея метода заключается в следующем:

1)в плоской области G , в которой разыскивается решение, строится сеточная область, состоящая из одинаковых ячеек и приближающая данную область G ;

2)заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответствующим конечно-разностным уравнением;

3)на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах сеточной области.

Решая полученную систему конечно-разностных уравнений (алгебраическая система уравнений с определенным числом неизвестных), находим значения искомой функции в узлах сетки – численное решение исходной задачи.

Пусть в плоскости xOy имеется некоторая область G , ограниченная кри-

вой (рис. 2.1). Строим на плоскости два семейства параллельных прямых:

x	x0	ih (i 0, 1, 2, ),	y j y0	jl ( j 0, 1, 2,	) .
Точки пересечения этих прямых назы-
ваются узлами. Два узла называются
соседними, если они удалены друг от
друга в направлении оси Ox или Oy на
расстояние,	равное шагу сетки h или l
соответственно. Те узлы, у которых все
четыре соседних узла принадлежат вы-
деленному множеству узлов, называют-
ся внутренними (узел А, рис. 2.1). Мно-
жество внутренних узлов образуют се-
точную область. Те узлы, у которых				Рис. 2.1
хотя бы один соседний узел не принад-

лежит к рассматриваемому множеству, называются граничными (узлы B, C,
рис. 2.1), а их совокупность образует границу сеточной области.
Обозначим		значение искомой	функции	u(x, y) в узлах	сетки через

uij u(xi , y j ) . В каждом внутреннем узле (xi , y j ) заменим частные производные разностными отношениями:

25

Материал: Приближенные методы-Буханько АА

Смотрите также: