Следующей важной характеристикой разомкнутой системы, находящейся в стационарном режиме, является среднее число занятых каналов к. Для системы без «взаимопомощи» между
каналами, когда заявка может обслуживаться только одним ка налом, интенсивность потока обслуженных заявок определяется формулой
Х0 = р./>. |
(3,2.5) |
Для доказательства этой формулы будем рассуждать следую щим образом. Пусть в момент времени t занято случайное число*
каналов У Мгновенная интенсивность потока обслуженных заявок будет равна Ур, а среднее число обслуженных заявок в; единицу времени
К = М [>>] = рЛ/ [ Y ] = ц*. |
(3.2.6) |
Рассмотрим произвольно выбранный канал и найдем веро ятность л3.к того, что в произвольно выбранный момент времени этот канал будет занят (индекс «з.к» означает «занят канал»).
Так как все каналы работают в одинаковых условиях, то
откуда |
|
|
k -- |
|
|
(3.2.7) |
|
|
|
|
7г |
|
|
|
|
|
|
|
*З.К-- п |
|
|
(3.2.8) |
|
С другой стороны, на основании эргодического свойства вели |
|||||||
чина лз.к может быть получена из выражения |
|
||||||
|
|
-з.к= |
_ *3-к _ |
, |
(3.2.9) |
||
|
|
|
|
^з.к ~Ь ^п.к |
|
|
|
где 13>j{ — среднее время, |
протекающее |
от момента |
занятия ка |
||||
нала заявкой до его освобождения; |
|
||||||
tz.u — среднее время, |
протекающее |
от момента |
освобожде |
||||
ния |
канала |
до |
его занятия |
новой заявкой (индекс |
|||
«п.к» означает «простаивает канал»). |
|
||||||
Из (3.2.9) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^З.К--^п.к |
|
» |
(3.2.10) |
||
|
|
|
|
1— Яз.К |
|
4 |
|
|
|
7 ал = |
Га м - Х ~ |
Язм |
|
(3.2.11) |
|
|
|
|
|
Яз.к |
|
|
|
Напомним, |
что формулы |
(3.2.7) — (3.2.11) справедливы толь |
|||||
ко для стационарного режима работы системы. |
|
||||||
Рассмотрим |
вопрос |
о |
среднем |
числе заявок, находящихся |
|||
в системе. Заявка, находящаяся в системе, может |
быть либо в |
||||||
97
очереди, либо на обслуживании. Обозначим среднее число зая
вок, находящихся в очереди, через г и среднее число обслужи- (ваемых заявок при стационарном режиме работы системы —
через s. Очевидно, среднее число заявок if, находящихся в систе ме, будет равно
l = s-\-r. |
(3.2.12) |
Обозначим среднее время нахождениизаявки в системе через /. Очевидно:
1 = 1 + 1 . (3.2.13)
где Тг — среднее время нахождения заявки в очереди и 1в— среднее время нахождения заявки на обслуживании.
Так как мы рассматриваем стационарный режим, то уравнение
расхода (3.2.1) имеет место. С другой |
стороны, |
среднее число |
заявок, находящихся в системе, будет равно |
|
|
lz=\t==\trA-\ts= |
r-\-s. |
(3.2.14) |
Докажем справедливость формулы (3.2.14). Пусть имеется эргодическая система массового обслуживания X, работающая в стационарном режиме. Тогда на нее поступают заявки, обра зующие поток с интенсивностью К и покидают заявки также по
током с интенсивностью ^= >I0 + ^H (см. рис. 3.2.1).
Т
Рмс. 3.2.2
Возьмем очень длинный промежуток времени длиной Т (мы
его потом устремим к бесконечности) и зафиксируем некоторый
’момент |
времени |
/, принадлежащий |
этому |
промежутку |
||
(рис. 3.2.2). |
|
|
|
|
|
|
Обозначим L(t) |
случайную функцию, равную |
числу |
заявок |
|||
в системе в момент времени /. |
свойства |
среднее |
число |
заявок |
||
На |
основании эргодического |
|||||
в системе |
|
|
|
|
|
|
|
|
М [L (/)] = 7 |
|
|
|
|
может быть найдено как предел интеграла |
|
|
|
|||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
Т = lim |
\ L(t)dt. |
|
|
|
|
|
т-+» Т |
.) |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
98
Перенумеруем заявки, которые успевают побывать в системе за время (О, Г), т. е. те, время пребывания которых в системе пересекается с промежутком (О, Т) :
1, 2,. к,..
Очевидно:
1 ( 0 = 2 м о , k
где случайная функция Lk{t) определяется следующим образом:'
|
0,если в момент t k-я заявка (уже или еще) не находится |
||||||
|
в системе; |
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
1 |
в момент |
t k-я |
заявка находится в системе. |
|||
|
1,если |
|
|||||
|
т |
|
|
т |
|
|
т |
1 = Пт - у ^ L (/) dt = Пт - у |
^ £ L„(t) dt= !lm |
£ у - |
(/) dt. |
||||
|
0 |
|
|
0 |
k |
k |
0 |
|
|
|
|
T |
Lk(t)dt |
|
|
Докажем, что |
выражение ^ |
\ |
|
|
|||
k о
приближенно равно сумме времени пребывания в системе всех перенумерованных заявок.
Действительно, предположим, что k-я заявка пришла за вре мя (0, Т) и ушла за это же время.
Тогда
f М 0 Л = т„
о
где T/i — время пребывания k-я заявки в системе.
Выражение
т
2 5 м о л
отличается от суммы времени пребывания в сис?еме всех заявок
только за счет тех заявок, которые:
1)за время (0, Т) пришли, но ушли позже;
2)за время (0, Т) ушли, но пришли раньше;
3)пришли раньше начала, а ушли позже конца промежут'* ка (0, Г).
Предположим, что Т— ьоо, а среднее время пребывания за
явки в системе ограничено. Тогда, очевидно, третью категорию заявок можно отбросить, а двумя первыми пренебречь, так как участки времени длиной Зет-, на которых этот «краевой эффект» сказывается, будут малы по сравнению с полной длиной отрезка (О, Т) (рис. 3.2.3).
Следовательно, математическое ожидание числа заявок равно
т
о*
где суммирование распространяется на все заявки, пришедшие за время (О, Г).
ОКраевой |
Основной участок |
Краевой Т t |
эффект |
длиной Т-6бх |
Эффект |
|
|
|
|
Рис. 3.2.3 |
|
При достаточно большом числе заявок п(Т), приходящих за
время (О, Г), на основании закона больших чисел
^ п (Т) t,
£■ п{Т)
где t — среднее время пребывания заявки в системе, а
/ |
"(Т) у |
|
т |
||
|
Но величина п(Т)/Т приближенно равна интенсивности потока
заявок А; отсюда
/ ~ и.
При Т— уо о это приближенное равенство становится точным.
Рассмотрим другое доказательство формулы (3.2.14). Иссле дуем два возможных способа работы эргодической системы мас сового обслуживания в стационарном режиме.
1. Система массового обслуживания работает по принципу «кто позже пришел, тот не может покинуть систему раньше того,
кто пришел раньше».
Перенумеруем все входящие заявки (рис. 3.2.4). Обозначим время пребывания первой, второй, третьей и т. д. заявок в систе ме через Т\, Г2, Г3. Эти величины представляют собой систем}
too
одинаково распределенных (в общем случае зависимых) случай ных величин.
Рассмотрим произвольную заявку и предположим, что время ее пребывания в системе Т приняло значение, лежащее в интер вале (t, t + dt);
Я (Гс=(/, t + dt) )^f \t) dt .
За время пребывания t заявки в системе в нес поступит в среднем )Л заявок, т. е. к моменту выхода заявки из системы в ней будет находиться в среднем М заявок.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
I |
* |
/7*х |
Входящий |
Ч—н+ |
• |
л |
» |
* |
ф |
||||
О |
|
|
гт |
|
|
|
|
t |
поток |
|
Т1 . |
:Т£ |
-------- |
|
Т5 |
|
т |
^вых Выходящий. |
|
о |
1 |
=1______ |
Ь |
п |
6 |
||||
2 |
3 |
Ц- |
5 |
7 |
Q t |
поток |
|||
|
|
|
|
|
Рис. 3.2.4 |
|
|
|
|
Тогда полное математическое ожидание числа заявок в си стеме будет
I = j t).f (/) dt = X/
О
иформула (3.2.14) доказана.
2.Система работает по принципу «заявка, поступившая в систему позже, может уйти из нее как раньше тех заявок, кото
рые поступили в систему до нее, так и позже» (рис. 3.2.5).
ч-н |
|
5 |
6 |
7 |
Пъх |
Входящий |
Ъ |
|
~ |
~ |
£ |
поток |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
J l |
ъ |
Ч |
|
|
|
|
7 |
2 |
7 |
6 Лвых выходящий |
|||
4— ' - |
О |
О |
||||
t l |
4' |
5 ’ |
6’ |
7' |
|
|
/' |
Г 3 ' |
|
||||
Рис. 3.2.5
Перенумеруем заявки в выходящем потоке событий в соот ветствии с порядком выхода заявок из системы (рис. 3.2.6).
Относительно вновь перенумерованного выходного потока заявок /7'пых можно сказать, что заявки в нем выходят строго друг за другом.
101