Подробнее эти функции были рассмотрены в § 1.5.
Найдем характеристики работы классической системы маисо вого обслуживания с отказами. Вероятность обслуживания за явки Робе очевидно, равна вероятности того, что заявка, посту пившая в систему, застанет свободным хотя бы один канал:
Р обе --- 1 Рп--- 1 |
Р (/7, а)_Р (п, rt) — Р (/7, д) |
R (п— 1, а) .(4.1.13) |
|
|
R (Пу a) |
R (п, а) |
R (/г, а) |
С другой стороны, вероятность обслуживания заявки равна отно сительной пропускной способности системы
К |
\i.k |
k_ |
(4.1.14) |
|
I |
а |
|
|
|
где ).о — плотность потока обслуженных заявок (абсолютная
пропускная способность СМО), a k — среднее число занятых ка
налов.
Отсюда
R (п - |
*) |
(4.1.15) |
k = otP{обе = |
а) |
|
R (п, |
|
Выражение для среднего числа занятых каналов k можно полу чить и непосредственно через вероятности ри.
|
|
п |
|
|
У |
kP (*, а) |
(4.1.15) |
k = . - ^ k Pl! |
^\ ^ |
Р (#, |
а) _ |
fe-0________ |
|||
"/г-О |
R(n> |
a) |
|
R(n, а) |
|
||
к =0 |
|
|
|
||||
Сравнивая (4.1.15) и |
|
(4.1.16), убеждаемся |
в том, что |
|
|||
п |
kP(k, |
|
|
|
|
|
|
2 |
a) = a # ( / i - l , |
|
а). |
(4.1.17) |
|||
k = 0
Это соотношение нам потребуется в дальнейшем изложении. Вероятность того, что канал з_анят, будет равна отношению
среднего числа занятых каналов |
k к общему числу каналов /г. |
|
k |
___ а |
R ( n — 1, а) |
П |
П |
(4.1.18) |
R(n, а) |
||
Введем в рассмотрение случайную величину ГЛЛ( — время занятости канала, равную длине промежутка времени, начинаю щегося с момента поступления заявки в канал до следующего непосредственного момента освобождения канала. Время заня тости канала Тям по условию распределено по показательному
108
закону с интенсивностью ц. Следовательно, среднее время заня тости канала /З.и будет равно
4.к = ^[7'з.к1 = — |
(4.1.19) |
JJL |
|
Временем простоя канала Тик называется длина промежут
ка времени, начинающегося с момента освобождения канала до его занятия следующей заявкой. Среднее время простоя канала
tп.к определяется из следующего выражения, имеющего место
для эргодической системы, находящейся в стационарном режиме:
-з.к = д: '"к_ . |
(4.1.20) |
^З.К + ^п.к |
|
т. е. вероятность занятости канала равна отношению среднего времени занятости канала к сумме среднего времени занятости канала и среднего времени простоя канала (см. 2.4.15).
Сравнивая выражения (4.1.19) и (4.1.20), получим
Т = |
Г |
1 |
nR (п, а) — ОЕР (п — 1, а) |
*11.К |
#З.К |
I |
(4.1.21) |
|
|
R(n, а) |
Вероятность полной загрузки системы, т. е. вероятность того, что все каналы будут заняты, равна
Рп |
Р (п, |
а) |
- Р п |
(4.1.22) |
|
Р(П, |
а) |
||||
|
|
|
Введем в рассмотрение время полной загрузки системы 7V;„ время, протекающее с момента занятия заявками всех п кана
лов до момента освобождения хотя бы одного канала, т. е. время однократного пребывания в состоянии хп. Время полной загрузки
системы Гп.з распределено по показательному закону с парамет ром п\х. Это следует из того, что граф состояний подсистемы для
определения закона распределения времени пребывания в состоя
нии хп имеет вид, показанный на рис. 4.1.2. Соответствующие
дифференциальные уравнения нужно решать при начальных ус
ловиях рп(0) = 1, рп-\ (0) =0. Следовательно, среднее время пол
ной загрузки системы будет
?п,-=М[7\3)= — |
(4.1.23) |
ГЦ1 |
|
Время неполной загрузки системы Г„.а равно длине проме жутка времени, протекающего от момента перехода системы из состояния хп в состояние хп- и до следующего момента возвраще ния системы в состояние хп. Граф состояний подсистемы для
определения закона распределения времени неполной загрузки системы имеет вид, показанный на рис. 4.1.3. Систему дифферен
109
циальных уравнений, соответствующую графу состояний, изобра женному на рис. 4.1.3, нужно решать при начальных условиях
/7„_l(0)= l, J0((O)= O |
1). |
|
Функция распределения времени Тил определяется |
из ра |
|
венства |
|
|
F » ,(0 = Р (7’1,з <i)--=~pn(1\ |
|
(4.1.24) |
где вероятность pn{t) определяется из решения системы диффе
ренциальных уравнений, соответствующей графу состояний, изо-
|
_А^ |
лр |
К |
|
|
Рис. 4.1.2 |
Рис. 4.1.3 |
браженному на рис. 4.1.3. Система дифференциальных уравнений должна решаться при начальных условиях
Р*-\{0) = 1; рк(0) = 0 ( к ф п - \ ) .
Плотность распределения времени неполной загрузки системы равна
/„.з (0 = dt F«, (0 =-• dt Рп (t)=lpn- 1(t). |
(4.1.25) |
Среднее время неполной загрузки системы Тп.3 найдем на
основании эргодического свойства: вероятность яГ1.3 того, что система полностью загружена, равна отношению среднего вре мени полной загрузки системы к сумме средних времен полной и неполной загрузки системы:
_ |
_ |
^п.з |
у |
|
|
|
‘•■и.з |
|
— |
_ |
|
|
|
откуда |
|
^н.з 4" ^п.з |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
* — л п-а — |
1 |
/ ? ( л - 1 , а ) |
( 4 . 1 . 2 6 ) |
|||
Я„.з |
|
п ц |
Р ( П , |
а ) |
|
|
Под простоем системы |
будем |
понимать |
такое |
ее сочетание, |
||
когда все каналы простаивают.
Вероятность простоя системы яп.с, очевидно, равна вероятно сти того, что все каналы свободны, т. е. вероятности пребывания
системы в состоянии х0: |
|
^п.с — Ро• |
(4.1.27) |
110
Время простоя системы Г„.с распределено по показательному за*-' кону с параметром л, так как граф соответствующей подсистемы имеет вид, показанный на рис. 4.1.4. Следовательно, среднее время простоя системы равно
7,,с = у |
(4.1.28) |
Среднее время пребывания заявки в системе t определяется
из условия
f l = l = s --- k,
где / — среднее число заявок, находящихся в системе, равное среднему числу занятых каналов k или среднему числу
обслуживаемых заявок 5,
откуда
/ = — |
(4.1.29) |
К |
|
Для того чтобы найти закон распределения времени Т нахож
дения заявки в системе, воспользуемся следующими рассужде
ниями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
если |
система |
полностью загружена |
(вероятность этого |
||||
равна |
лп.з), то |
время пребывания |
очередной заявки в системе |
|||||
равно |
нулю; |
|
|
|
|
|
|
|
б) если система неполностью загружена |
||||||||
(вероятность |
этого |
равна |
л„.3= 1 — л„.3), |
то |
||||
время пребывания очередной заявки в системе |
||||||||
распределено по показательному закону с |
||||||||
параметром р, так как заявка |
будет |
при |
||||||
нята |
к |
обслуживанию |
одним |
из |
кана |
|||
лов. |
|
|
величина Т относится к случай |
|||||
Случайная |
||||||||
ным величинам смешанного типа, функции распределения кото
рых имеют как участки плавного |
возрастания, |
так и скачки. |
У случайной величины Т имеется |
единственный |
скачок в точке |
i = 0. Следовательно, плотность распределения времени Т пребы
вания заявки в системе будет иметь следующий вид:
|
/ (0 *■= -п.зВ (t) + тгн.зк~1'' 1 (/), |
(4.1.30) |
где |
t о (/) — дельта-функция; |
|
!(/)-- |
^ 8(t)dt — единичная функция. |
|
ill