|
0 = |
— (^1,2+ ^1,3 ~г м,4) Р\ *Т A0,l/V> |
|
|
|
||||||
|
0 = |
—>-2,0^2 -Г- ^1.2^1; |
|
|
|
|
|
||||
|
0 — — X3i0/73 |
h t3Pi\ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 = |
—^4,0^4 |
|
,4Р\- |
|
|
|
|
|
|
Решение этой системы |
уравнений, |
удовлетворяющее |
нормиро |
||||||||
вочному условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
имеет |
вид [см. |
(2.5.10)] |
/2=0* = 1 ’ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ро=----------:-------;------г ------- г--------- ;------ |
; |
(2.7.8) |
||||||||
|
|
+ |
Л0,1 |
( |
Л1,2 |
Л1.3 |
^1.4 |
\ |
|
|
|
|
|
------- |
1+ |
----- + ------- + 1---- |
|
|
|||||
|
|
|
2 J |
|
\ |
/,2,0 |
Л3.0 |
4 о |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' • 0,1 |
Р6 |
Pi=' |
|
|
Ро (* = |
?, |
3, |
4). |
||
|
/'г |
|
|
|
|||||||
|
2 4 ; |
|
|
|
4 о 2 |
h |
|
|
|
|
|
|
7 = 2 |
|
|
|
|
J=2 |
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
вероятность того, что машина |
исправна, нами |
||||||||
найдена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для отыскания вероятности того, что время простоя машины |
|||||||||||
будет |
не более |
t, |
требуется |
найти |
|
|
|
|
|
||
закон |
распределения |
времени |
про |
|
|
|
|
|
|||
стоя, т. е. закон |
распределения вре |
|
|
|
|
|
|||||
мени |
Г], 2, з,4 пребывания |
в состоя |
|
|
|
|
|
||||
ниях *1, *2, *3, *4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Граф подсистемы X, с помощью |
|
|
|
|
|
||||||
которого можно отыскать закон рас |
|
|
|
|
|
||||||
пределения времени Гь 2, з, 4, показан |
|
|
|
|
|
||||||
на рис. 2.7.86. |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.7.86 |
|||
Соответствующая |
этому |
графу |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
состояний система |
дифференциаль |
|
|
|
|
|
|||||
ных уравнений имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
*?,«> |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
]=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dPi (О |
-4оЛ(0 + 4/Л(0 |
(*= 2,3.4); |
|
|||||||
|
dt |
|
|||||||||
|
|
|
7= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
87
Начальные условия для решения этой системы определяются из соотношения
р Л о)= 1 ; л (0 )= о ц ф 1).
Для сокращения записи введем обозначение
4
- __У2 ~Я Уз Я \__ \
С учетом начальных условий к принятого обозначения вероят ность p\(t) определится по формуле
РА Я= е - м
Вероятность pi{t) найдем из выражения
P i( t ) = e l 'r -> - uГ\ e |
d t _ |
* \ л |
е -'* "1]. |
о |
#i — '«.о |
||
|
|
|
|
При равенстве Х|Л= а, будем иметь |
|
|
|
p i{t) = XxJ e - ^ |
(i= 2 , |
3, |
4). |
Вероятность p0(t) найдем, интегрируя последнее дифферен циальное уравнение системы:
P o (0 = J y£ h . o P i ( t ) d t = 2 |
Х,.° J PM)dL |
|
О1=2 |
/=2 |
О |
В случае, когда >./.0 Ф >ч, имеем
i —2
= £ |
> . / . |
й |
M |
* LO |
1 |
|
|
I |
|
0 [ - |
~ e~ Af0< - |
^ |
* |
- |
l• |
L |
'-o |
|
|
J |
|
В случае, когда >.j.o=>-, |
(/= 2 , |
3, |
4), имеем |
|
|
||
|
4 |
t |
|
4 |
|
|
|
Я |
/=2 |
о |
^ |
■ |
' Л = £ |
- ^ |
Ч 1 - C V + 1 |
|
|
i = 2 |
|
|
|
||
Если для некоторых значений i величина А.,-,0=?ч, а для дру |
|||||||
гих значений i |
и $ ф } . и |
то выражение для р0(0 |
(в соответствии |
||||
с правилами |
интегрирования |
дифференциальных |
уравнений) |
||||
88
будет представлять линейную комбинацию полученных решений. Например, если ^i,o= Ai, Х2,0=7^1 и Хз,0=7^ 1, то можно записать
следующее выражение для вероятностей po(t):
^ W= H r - |
[1 - ( V + 1 ) *"Х,Ч Z Х/-° - Г ^ Т - х |
||
Л1 |
|
1=3 |
—Л1,0 |
|
|
|
|
X |
1 — е - х/,о* |
1 - |
|
4,0 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, функция распределения случайной величины Т12,3,4 найдена, так как
Я(Г1,213,4 < 0 = ^1.2.3.4(0=]5о(0-
По условию задачи вероятность того, что простой машины продлится не более времени t, и равна найденной функции рас пределения случайной величины Т\у2,з, 4-
Для нахождения среднего времени простоя 11,2, з, 4 можно при
менить два приема. Первый прием заключается в том, чтобы вос пользоваться найденным законом распределения случайной ве личины 7^2, 3, 4.'
_ |
х . |
A |
t ^ |
|
^1 , 2 , 3 , 4 = ^ t d F 1 , 2 , 3 . 4 (0 = ^ ^ , 0 \ t p t { t ) d t . |
||
|
0 |
i=2 |
о |
Однако если требуется найти только математическое ожида ние 2,3, 4, то можно обойтись и без закона распределения, а
воспользоваться эргодическим свойством. В соответствии с гра фом состояний, изображенным на рис. 2.7.8а, среднее время пребывания в состоянии х0 равно
/ п = -
Л0,1
С другой стороны, на основании эргодического свойства для стационарного режима работы системы имеет место равенство
Ро==т — *
го ^ Ч, 2, 3, 4
откуда выражение для среднего времени простоя машины будет
1 —р»
1 1 , 2 , з, 4 — ^0
89
где ро определяется из выражения (2.7.8):
Ро= |
1 |
4 |
|
1 + |
1 + V |
2.7.9. Исследуется процесс чистого размножения, граф кото рого приведен на рис. 2.7.9а. Ограничений на число состояний
Рис. 2.7.9а
никаких нет. Плотность потока, переводящего процесс из состоя
ния хк в состояние xh+x (ft = 0, |
1, 2, ...), определяется формулой |
лЛг=Х0аЛ(а > 0 ) |
(ft- 0 , 1, 2 ,...) . |
Определить при каких значениях а возможно явление «взры ва» и найти выражение для вероятности pk{t) того, что к момен ту t процесс будет в состоянии хк, если в момент / = 0 он был в состоянии х0.
Р е ш е н и е Найдем, при каких условиях ряд (2.5.14) расходится:
пп
Последнее выражение имеет конечное |
значение |
при а> 1 . |
||||
Следовательно, для |
того чтобы ряд |
2 |
Т~ |
расходился, нужно |
||
соблюдать |
условия |
0 < а ^ 1 . Таким |
*=о |
* |
|
«взрыва» |
образом, явление |
||||||
возможно |
при о > 1 . |
«Взрыв» в данном |
примере означает, что |
|||
имеется конечная вероятность того, что система за любое, даже
малое, время Д^>0 перейдет в состояние со сколь угодно боль шим к.
Для отыскания вероятности pk(t) можно воспользоваться
решением задачи 2.7.3. Действительно, граф, изображенный на рис. 2.7.36, до состояния хк совпадает с любым участком графа,
90