Заметим, что описанный выше регулярный поток событий можно рассматривать как предельный случай нормального по тока при at— И). Действительно, при at— Ю имеем
|
_ |
± |
/ t-mt \2 |
|
|
Иш |
1 |
2 |
I |
) |
(1.5.13) |
------ Л |
|
|
= <>(*—m t), |
||
а,-*0 V "я Of |
|
|
|
|
|
т. е. при ot— >-0 нормальная |
плотность распределения переходит |
||||
в дельта-функцию. |
|
|
|
|
Т* между дву |
Найдем плотность распределения интервала |
|||||
мя соседними событиями, на который случайным образом пада ет точка S (см. рис. 1.2.2):
t |
t |
1 (‘- " tV |
2 \ at ) |
||
/* (* )= — /(*)= |
mt V ”2я ot |
(t> 0). (1.5.14) |
щ |
|
Определим числовые характеристики интервала Т* [см. (1.2.1),
(1.2.2)]: |
|
|
|
|
|
mt*=tnt-\----------mt-1--------; |
|
(1.5.15) |
|||
|
|
mt |
mt |
|
|
D [7 4 - |
^[7*] |
Ш\ТЦГ- |
|
|
|
|
|
m t |
m \ |
|
|
Величина М[Г3] для нормального закона будет |
|
||||
М [7'3]= |
а3= J tzf(t)d t = 3 m p ^ m f . |
|
|||
С учетом последнего равенства получаем |
|
|
|||
(°? + л*/)2 |
|
Di |
|
|
|
£)[Г*] = За2+ /и*- |
|
|
-Ц(-(/71? —/),).(!. 5.16) |
||
|
|
|
т : |
|
|
Закон распределения |
случайной |
величины 0 |
(см. рис. 1.3.1) — |
||
промежутка времени |
между |
точкой 5 и следующим |
за этой |
||
точкой событием, будет [см. (1.3.2)]: |
|
|
|||
®(0) = 1- /Ч» ) |
- - P i * ) |
> 0 ), |
(1.5.17) |
||
щщ
где
JC |
Г- |
(1.5.18) |
Ф *(л)=-Л г. f е |
2 dt |
|
V 2Я |
|
|
нормальная функция распределения.
23
Числовые характеристики случайной величины 0 найдем из выражений (1.3.5) и (1.3.7)
|
т{ = МЩ = |
Д(_1 . |
(1.5.19) |
|
|
|
|
mt J ’ |
|
|
|
Д2 |
|
0 |
D[0] |
|
|
(1.5.20) |
|
3mt |
4mJ |
|
||
|
|
12 |
||
При выполнении условия (1.5.12) эта величина не может быть отрицательна.
Характеристическая функция интервала между соседними со бытиями в нормальном потоке имеет вид
g{x)= \ |
оМх . |
г |
2 ' |
' Л* |
imt |
|
|
dt = e |
1 2 (1.5.21) |
||
|
] |
2л |
|
|
|
3. Поток Эрланга
Поток Эрланга получается путем особого преобразования («разрежения») простейшего потока. Это преобразование осу ществляется путем выбрасывания некоторых событий из про стейшего потока (рис. 1.5.2).
Рис. 1.5.2 Рис. 1.5.3
В верхней части рисунка изображен простейший поток П.
Предположим, что из него выбрасывается каждая вторая точка (событие). Оставшиеся невыброшенными события составляют новый поток событий, который называется потоком Эрланга 1-го порядка Э\. Если выбрасывать два события подряд и оставлять
в потоке каждое третье событие, то пдлучим поток Эрланга 2-го порядка Э2 (рис. 1.5.3) и т. д.
Теперь можно дать следующее общее определение: потоком Эрланга k-го порядка называется поток Пальма, у которого ин
тервалы между событиями представляют собой сумму (&+1) не зависимых случайных величин, распределенных одинаково по показательному закону с параметром X. Параметр X представля ет собой интенсивность исходного простейшего потока П. Вели чина k может принимать значения 0, 1, 2, При &= 0 получаем
24
исходный простейший поток /7, так как никакого преобразования мы не делаем.
Можно доказать, что плотность распределения случайной ве личины Г-интервала между двумя соседними событиями в пото ке Эрланга k-то порядка равна
Л ( 0 = - ^ - в - » (/ > 0 ). |
(1.5.22) |
АН |
|
Для дальнейших расчетов нам понадобится ввести в рассмот |
|
рение специальную функцию |
|
P{k, |
(1.5.23) |
Напомним, что вероятность P(k, а) равна |
вероятности того, |
что случайная величина Ху распределенная |
по закону Пуассона |
|||
с параметром а, примет значение k\ |
|
|
|
|
P{k, |
a) = P (X = k). |
|
(1.5.24) |
|
Таким образом: |
|
|
|
|
f k(t) = t.p(k, |
U). |
|
|
|
Функция распределения случайной величины Т будет иметь |
||||
вид |
|
k |
|
|
/ |
|
|
|
|
г * (0 = 5 Л (0 л = 1 - |
2 - ^ г - |
' |
(1.5.25) |
|
О |
/1 = 0 |
|
|
|
Если ввести в рассмотрение функцию
кк
R(k, а) = 2 -Д- «"" = |
2 Я(//’ |
(1-5.26) |
и=0 |
п=О |
|
то выражение для функции распределения примет вид |
|
|
F(t) = 1 —/?(Л, |
>Л |
(1.5.27) |
Функция R(k, а) равна вероятности того, что случайная величи
на X, распределенная по закону Пуассона с параметром а, при мет значение не большее k:
R{k, |
a)= ^P {X ^k). |
(1.5.28) |
Таблицы функции R(k, а) |
даны в приложении. |
введен |
В дальнейшем изложении будем часто пользоваться |
||
ными функциями P(k, а) и R(k, а), поэтому советуем читателю
25
запомнить их определения. Между функциями P(k, а) и JR(k, а)
существуют следующие соотношения:
dR(k, а) — |
P(k, а)\ |
(1.5.29) |
da |
|
|
со |
|
|
R(k, a ) = [ P { k , x)dx\ |
(1.5.30) |
|
a |
|
|
P{k, a)=R(k, |
a) — R{k — \, a), |
(1.5.31) |
в справедливости которых читатель может убедиться самостоя тельно.
При больших значениях параметра а (а > 20) для вычисления функции R(k, а) можно пользоваться следующим приближенным
выражением:
|
R(k, |
а)^Ф * |
|
(1.5.32) |
|
X |
г - |
|
|
где Ф* {х) — — ^ |
[ е |
2 eft— нормальная |
функция распреде |
|
ли Л |
|
|
|
|
ленчя. |
|
|
|
|
Помимо этого, полезно знать следующие свойства функций |
||||
P(k, a ),R (k , а): |
|
|
|
|
ИшЯ(0, а ) = 1 ; |
НтР( £, а) = 0; |
llm/?(£, |
а ) = 1 ; UrnR(k, а)— 1. |
|
а-0 |
а->0 |
(ft ф0) |
a-+Q |
ft-*» |
Рассмотрим случайную величину X, распределенную по за кону Пуассона с параметром а, и найдем наивероятнейшее зна
чение /г* Это значение определяется из условия
P(k*> a) = maxP(k, а).
л
Для того чтобы выполнялось это равенство, требуется сов местное выполнение двух неравенств:
P ( k * - 1, |
a ) < P ( k \ |
а); |
P(k' + 1, |
а ) < Я( й *, |
а). |
Из первого неравенства имеем
„ft*
■е~а <
(k* — 1)! |
^ k*\ |
откуда
а > k*
26
Из второго неравенства
а*♦+1 |
< |
|
|
(к* + 1)! |
к*\ |
||
|
откуда
a < k ' + 1.
Объединяя эти два неравенства, получим
а — 1 < к* < а ,
где к* — целое неотрицательное число.
Рассмотрим положительное число а и обозначим [а] его целую
часть («антье»), т. е. наибольшее целое число, заключенное в а.
Например, |
если |
а = 7,85, то |
[а] = 7; |
если а=0,3, то [а] = 0; если |
а — целое |
число, |
то [а]=а. |
Тогда |
(если а — нецелое число) |
наивероятнейшее значение k* будет определяться из равенства
к* = [а]. Если а< 1, то &* = 0; если а — целое |
число, то имеются |
|
два наивероятнейших значения: k{* = a и |
= |
— 1. При этом |
Р(а, а) = Р(а — 1, |
а). |
|
Вернемся к рассмотрению потока Эрланга й-го порядка. Чис ловые характеристики интервала Т между двумя соседними со
бытиями в этом потоке будут
^ = ^ Л ( 0 Л = - ^ . |
(1-5.33) |
0 |
|
Dl = ^ ( t - m ty / k{t)dt = ±±}- |
(1.5.34) |
о |
|
Плотность распределения интервала времени Г*, на который случайным образом падает точка S [см. формулу (1.2.3)], через функцию P{k, а) выразится следующим образом:
= — /*(*) = — г г - |
^ ^ е - * ' = ХР(*4-1, Щ (1.5.35) |
k -f- 1 |
к\ |
1 |
|
Таким образом, случайная величина Т* будет подчинена за
кону Эрланга (&+1)-го порядка. Числовые характеристики слу чайной величины Т* будут
М [ Г ] = г - £ ± ! ; |
(1.5.36) |
К |
|
D [ n = _ k ± l |
(1.5.37) |
27