Материал: Прогрессии

6

«Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если

разность между каждым человеком и следующим составит 18 меры». В Древней Греции III в. н. э. формула

суммы первых членов арифметической прогрессии была известна Архимеду и Диофанту, а в Индии V в. н. э. астроному и математику Ариабхате. В средневековой Европе формула впервые появилась в «Книге абака» Леонардо Фибоначчи (XII в.). И по сей день

метических и геометрических прогрессиях строится вся классическая теория финансовых вычислений. А согласитесь, трудно найти сферу деятельности, в которой знакомство с основами финансовых вычислений было бы лишним. Надеемся, нам удалось убедить сомневающихся в том, что изучение прогрессий отнюдь не праздное занятие. Тогда в путь!

Автор благодарит всех, кого заинтересовала первая книга «Алгебраические уравнения», кто высказал свои замечания и пожелания, а также коллектив школы № 42 и директора НОУ «Орбита» Г. А. Крылову за поддержку во время работы над книгой. Как и прежде, замечания и пожелания вы можете направлять по адресу: belyi@petrsu.ru.

Евгений Белый Февраль 2016

Глава 1. Арифметические прогрессии

§ 1.1. Основные понятия

4 12 Арифметическая прогрессия – это последова-

тельность вещественных чисел, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего путем прибавления к нему некоторой фиксированной величины : если

первый член прогрессии равен 1, то для натуральных > 1

справедливо равенство = −1 + . Формулу, выражаю-

щую -й член последовательности через один или несколько

предыдущих, называют рекуррентной (от лат. recurrentis

– возвращающийся). По индукции из заданной выше рекуррентной формулы получим формулу -го члена арифмети-

ческой прогрессии: = 1 + ( − 1) , где = 1, 2, 3, . . ., и запишем прогрессию в виде

1, 1 + , 1 + 2 , 1 + 3 . . . .

Величину называют разностью прогрессии, или шагом

прогрессии. Арифметическая прогрессия при > 0 строго

монотонно возрастает, при < 0 строго монотонно убыва-

ет, при = 0 стационарна. Так, ряд натуральных чисел

{1, 2, 3, 4, . . .} – прогрессия с первым членом и разностью,

равными 1. Для любого члена арифметической прогрессии,

8

начиная со второго, выполняется равенство

Инаоборот, если – среднее арифметическое и , т. е.

= +2 , то числа , и образуют арифметическую прогрессию. Если нет причин поступить иначе, мы и дальше

будем обозначать буквой a с индексом члены арифметической прогрессии, а сумму первых ее членов :

∑

= = 1 + 2 + . . . + .

=1

Знак суммы ∑ ввел в XVIII веке Леонард Эйлер. В дальнейшем мы встретим знак ∏, которым в XIX веке Карл

Гаусс стал обозначать произведение множества индекси-

∏

рованных переменных: = 1 · 2 · . . . · .

=1

Найдем формулу для . Для этого запишем сумму первых членов прогрессии в порядке возрастания индексов, а ниже ту же сумму в порядке убывания индексов и сложим величины, попавшие в один столбец:

В первой строке каждое слагаемое больше предыдущего на величину . Во второй, наоборот, каждое следующее сла-

гаемое меньше предыдущего на . Таким образом, суммы

элементов соответствующих столбцов не меняются и всегда равны 1 + . Поскольку у нас столбцов,

Иногда под арифметической прогрессией подразумевают конечное число ее первых членов. Используют даже термин «конечная арифметическая прогрессия». Обычно такое «вольнодумство» не приводит к недоразумениям. Часто при определении арифметической прогрессии полагают ̸= 0, т. е. исключают случай стационарной прогрессии. Последнее непринципиально, но в некоторых случаях может вынудить нас делать лишние оговорки, например, в приведенном ниже утверждении о сумме двух арифметических

прогрессий.

Определим сумму двух последовательностей { (1)} и { (2)} как последовательность { }, для членов которой

10

имеет место равенство = (1) + (2). Произведение по- следовательности { (1)} на число определим как после-

довательность произведений соответствующих ее членов на

это число. Линейной комбинацией двух последовательностей { (1)} и { (2)} назовем последовательность { } = { (1)} + { (2)}, для членов которой имеет место равенство = (1) + (2), где и – константы. Тогда:

1) сумма двух арифметических прогрессий { (1)} и { (2)} –

арифметическая прогрессия

прогрессий { (1)} и { (2)} – арифметическая прогрессия

{ } = { · (1)+ · (2)}, где = 1, 2, 3, . . . , и – константы.

Заметим, сумма первых членов линейной комбинации двух арифметических прогрессий будет линейной комбинацией