Материал: Прогрессии

Первая прогрессия стационарная, вторая – последовательность неотрицательных целых чисел. Тогда арифметическую прогрессию { } с первым членом 1 и разностью можно представить как { } = 1{ } + { }.

Рассматривают также арифметические прогрессии второго порядка – последовательности чисел, разности которых образуют обычную арифметическую прогрессию (прогрессию первого порядка); арифметические прогрессии третьего порядка – последовательности чисел, разности которых образуют арифметическую прогрессию второго порядка и т. д. Арифметической прогрессией n-го порядка, где > 1, называют последовательность чисел, раз-

ности которых образуют прогрессию порядка − 1. Такие

прогрессии иногда называют арифметическими рядами. Их рассматривали еще в школе Пифагора. Чтобы получить

-й член прогрессии порядка + 1, достаточно найти сумму

первых членов прогрессии порядка .

12

Ниже в таблице представлены прогрессии, порожденные натуральным рядом чисел:

Любой прогрессии порядка соответствует многочлен

( ) = + . . . + 1 + 0, такой, что -й член прогрессии равен ( ). В частности, для прогрессии первого порядка многочлен имеет вид

1( ) = + ( 1 − ) 1(1) = 1, 1(2) = 1 + , . . . ; второго порядка –

§ 1.2. Фигурные числа

7 14 С незапамятных времен люди, оперируя с числа-

ми, выстраивали на земле замысловатые фигуры из камешков. С какой целью? Ответить на этот вопрос непросто. Наблюдали ли вы, как ласково раскладывает кошка на пороге хозяйского дома свои ночные трофеи? Она не только аккуратно уложит мышек в ряд, но и отсортирует их

по размеру. А как паук плетет такие идеально симметричные узоры? Снова загадка. Однако вернемся к числам. Пифагорийцы считали, что фигурные числа скрывают тайны мироздания. К ним проявляли интерес Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие математики античности. В средние века фигурные числа занимали Пачоли, Кардано, Фибоначчи и др., а в Новое время – Ферма, Коши и Эйлера. Мы же ограничимся только одним классом фигурных чисел – многоугольными (рис. 1).

Любая арифметическая прогрессия с = 1 + ( − 1) ,

Рис. 1. Фигурные числа: а) треугольные, б) квадратные, в) пятиугольные, г) шестиугольные

где = 1, 2, . . ., а – целое число, порождает прогрессию второго порядка – последовательность ( + 2)-угольных чисел. Если количество углов многоугольника обозначить ,

то исходную прогрессию можно задать формулой= 1 + ( − 1)( − 2), а соответствующую прогрессию 2-го

таблице представлены числа, соответствующие = 3, 4, 5, 6.

Тогда 1 − 18 = 10 1 = 28.

Ответ: 1 = 28, = −2.

Пример 3. Седьмой член арифметической прогрессии 95 равен 1 и равен 4 − 2. Найти 1 и .

Решение:

= −2 + 3 2. Является ли эта последовательность арифметической прогрессией?

Решение. Для любого = 1, 2, 3, . . . выполняется условие

+1 = −2 + 3( + 1)2 = −2 + 3 2 + 6 + 3 = + 6 + 3, т. е.