Материал: Прогрессии
96
96
16
+1 = + 6 + 3. Таким образом, 2 = 1 + 9, 3 = 2 + 15. Ответ: поскольку 2 − 1 ̸= 3 − 2, последовательность не является арифметической прогрессией.
Пример 6. Даны величины 1 = lg 2, 2 = lg(3 − 3),3 = lg(3 + 9). При каких числа 1, 2, 3, взятые в ука- занном порядке, образуют арифметическую прогрессию?
Решение. Воспользуемся известным отношением между тремя соседними членами арифметической прогрессии:
2 2 = 1 + 3 2 · lg(3 − 3) = lg 2 + lg(3 + 9)
lg(3 − 3)2 = lg[2(3 + 9)] 32 − 6 · 3 + 9 = 2 · 3 + 18
32 − 8 · 3 − 9 = 0. Пусть 3 = .
Уравнение 2 − 8 − 9 = 0 имеет решения: 1 = −1 и 2 = 9.
1)Уравнение 3 = −1 не имеет решения;
2)3 = 9 3 = 32 = 2.
Ответ: при = 2. |
|
|
|
|
||
Пример 7. 1 |
= 2, 10 = 20. Найти сумму первых десяти |
|||||
членов арифметической прогрессии. |
|
|||||
Решение: 10 = |
|
1 + 10 |
· 10 = |
2 + 20 |
· 10 = 110. |
|
|
2 |
|
2 |
|||
Ответ: 110.
Справка о чинах в казачьих войсках. Приказной соответствует ефрейтору в современной армии, урядник – сержанту, вахмистр – ротному старшине, подхорунжий – прапорщику, хорунжий – лейтенанту, а сотенный есаул
ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ |
17 |
|
|
– капитану, командиру роты. Еще одно замечание: сейчас вознаграждение в 1 руб. может показаться смехотвор-
ным, но когда-то за 1 руб. можно было купить корову, а
за 2 руб. вполне приличную избу.
Пример 8. Казачья сотня отличилась в бою, и атаман 96
решил наградить одного рядового казака, одного приказного, одного урядника, вахмистра, одного подхорунжия, одного хорунжия и сотенного есаула. Рядовому дал 1 руб., и далее каждому следующему чину – на 2 руб. больше предыдущего. Какова общая сумма вознаграждения?
Решение. Всего перечислено 7 чинов. Вознаграждение
рядового казака 1 = 1, далее от чина к чину оно увели-
чивается на величину = 2, т. е. по закону арифметической
прогрессии. Таким образом,
|
|
= |
2 1 + 6 |
· |
7 = |
|
2 + 6 · 2 |
· |
7 = 49. |
|
|
|||
7 |
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
Ответ: 49 руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 9. |
|
|
Изменим |
|
условия |
примера № 8. Атаман |
96 |
|||||||
решил наградить всю сотню и выдать рядовым казакам по 1 руб., приказным по 3, урядникам по 5, вахмистру 7, подхорунжиям по 9, хорунжиям по 11 и сотенному есаулу 13 рублей. Всего в сотне было 90 рядовых казаков, 20 приказных, 12 урядников, 1 вахмистр, 3 подхорунжия, 2 хорунжия и 1 есаул. Найти общую сумму вознаграждения.
18
Решение. Награды по-прежнему образуют арифметическую прогрессию { } = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}. Но теперь формула суммы членов прогрессии нам не поможет. Каждый чин представлен группой казаков. Численность группы в статистике называют весом группы. Вес -й группы обозначим
. Тогда веса групп в порядке возрастания чинов образуют последовательность { } = {90, 20, 12, 1, 3, 2, 1}. Осталось
найти взвешенную сумму членов прогрессии:
7
∑
1 1 + 2 2 + . . . + 7 7 = =
=1
= 90 · 1 + 20 · 3 + 12 · 5 + 1 · 7 + 3 · 9 + 2 · 11 + 1 · 13 = 279.
Ответ: 279 руб.
97 |
|
Пример 10. |
Пусть 1 = 4, = −20, = −2. Найти сумму |
|||||||||||||
|
|
первых членов прогрессии. |
|
|
|
− 1 |
|
|||||||||
|
|
Решение: |
|
= |
1 |
+ ( |
− |
1) |
|
= |
+ 1 = 13. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
1 |
+ 13 |
|
13 = |
4 − 20 |
|
13 = |
104. |
|||
|
|
|
|
|
2 |
· |
|
· |
||||||||
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
− |
||||
Ответ: −104.
Следующий пример связан с проектированием лестницы.
Плоскость ступени лестницы называют проступью, а длину проступи в направлении подъема ницы. Обозначим высоту ступени, т. е. расстояние по
вертикали между двумя соседними проступями, буквой ,
а шаг лестницы – (рис. 2). Архитекторы XVII века уста-
ГЛАВА 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ |
19 |
|
|
|
Рис. 2. Лестница, ведущая к трону |
|
|
новили |
оптимальные |
отношения |
между |
шагом лестницы и высотой ступени: |
|
||
+ = 45 (формула безопасности лестницы);
− = 12 (формула удобства лестницы).
За триста с лишним лет появилось много новых нормативов. Но если вы замерите параметры ступеней лестничного пролета в своем доме, то убедитесь, что с тех пор мало что изменилось. Выходит, параметры и не такие уж произвольные. Введем еще один параметр – ширину
20
лестницы, т. е. длину проступи в направлении, перпендикулярном плоскости (см. рис. 2).
97 Пример 11. Царь повелел установить трон на возвышен-
ном месте и подвести к нему мраморную лестницу с заданными параметрами: – количество ступеней, – высота
ступени, – шаг лестницы, – ширина. Какой объем мра-
мора потребуется для строительства лестницы?
Решение. Высота первой ступени 1 = , на нее потребуется мрамора 1 = · · . Высота следующей ступени от земли 2 = 2 , на нее потребуется мрамора 2 = 2 · · .
Продолжая рассуждать по индукции, заметим, что под -й
ступенью должен располагаться мраморный блок объемом= · · , где = . Таким образом, высоты ступеней от основания лестницы образуют арифметическую прогрессию. Суммарный объем всех мраморных блоков
|
|
= 1 + 2 +. . .+ = ( 1 +. . .+ )· · = |
( + 1) |
· · · . |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|||||||||||||
|
|
( + 1) |
· |
· · . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ответ: = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Пусть 1 |
= 1.2, 4 = 1.8. Найти 6. |
|
|||||||||
97 |
Пример 12. |
|
||||||||||||
|
|
Решение: 1 = 1.2 |
|
|
|
1 = 1.2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 + 3 = 1.8 |
= 0.2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
6 = |
2 1 + 5 |
· 6 = |
|
2.4 + 1 |
· 6 = 10.2. |
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||