Введем комплексную спектральную плотность огибающей сигнала
|
со |
|
|
Uc ( j a ) = \ u c{t)e-l»*dt. |
(6.9) |
|
о |
|
Тогда, учитывая |
(6.9), можно записать (6.8) следующим образом: |
|
«с О'®) = |
у {е/Ф° Uc \j (со—сос)] + е~/<Рс U0 [} (со + сос)]>. |
(6.10) |
Полученное соотношение устанавливает простую связь между спектром сигнала (6.6) и спектром его огибающей, а именно: первое слагаемое в фигурных скобках (6.10) представляет собой спектр огибающей, смещенный на величину -f сос (вправо) и дополненный со ответствующим фазовым множителем, а второе — тот же спектр, сме щенный на величину —сос (влево) и дополненный комплексно-со пряженным фазовым множителем. Узкополосный сигнал имеет оги бающую, спектр которой сосредоточен в области частот, близких к нулю. Из (6.10) следует, что спектр такого сигнала имеет два макси мума интенсивности, сосредоточенных около частот+ со0.
Расчет переходных процессов при узкополосном входном воздей ствии. Положим для простоты, что частота сос сигнала совпадает с ре зонансной частотой со0 избирательной системы. Тогда для спектра вы ходного напряжения системы согласно (6.5) и (6.10) получаем следую щее выражение:
«вых (/®) = «с О'®) Я (/®) = у (е,Фс Uc [/ (со —со0)] +
-Ь е~,ф° Uc [/ (со + ©„)]} {е^’о х (со —со0)] + е~^« х [/ (со + о>0)]}. (6.11)
Раскрывая в выражении (6.11) фигурные скобки, получаем сумму четырех слагаемых. Однако в силу того, что первые слагаемые в обеих скобках имеют резко выраженныймаксимум модуля на частоте со0, а вторые — на частоте —со0, можно с достаточной точностью поло жить
«вых (/®) = |
у {еу (<f>c+li?o) Uc [/ (® |
®0)] * [/ (® —®о)1Ф |
|
+ е- / |
(фс+^о) и с jy у (0j] |
и у у to0)]}. |
(6.12) |
Напряжение на выходе системы находим, подвергая (6.12) обрат ному преобразованию Фурье, т. е.
+»
« в ы х ^ ^ у - J «вых 0'®) е'а' rf® =
Ко |
е* <*с+ +0 |
-)-оо |
\ и СЦ(со —<о0)] х [/ (со —со0)] е!<л1 da -L |
||
2 |
2л |
J |
V |
|
■— 00 |
—/(<Рс-(-'Фо) 4 - 0р0 |
I |
(6.13) |
+ -— у ----- J |
и с [j (а -ь соо)] х и (со + со0)] е'®' d a ) . |
|
2я |
|
|
201
Вводя в первом интеграле (6.13) новую переменную интегрирова
ния Q = со— со0, а во втором |
= со + со0 и переходя от показатель |
ных функций к тригонометрическим, получаем |
|
+ о о |
|
(0 = ^ $ Ue{jQ)K0*(jQ)eta‘ dQ cos(®0^-|-cpc-f ф0), (6.14) |
|
где выражение в фигурных скобках характеризует огибающую выходного напряжения
|
-j-00 |
|
|
*Л,ых(0 = г S Uc{jQ )Ko*№ )ziQldQ. |
(6.15) |
Г |
~оо |
|
|
|
Согласно полученному результату огибающая выходного напря жения может быть рассчитана как результат воздействия огибаю щей входного сигнала на четырехполюсник с коэффициентом переда чи /С0я (/Q). Форма комплексной частотной характеристики четырех полюсника совпадает с формой комплексной частотной характеристи ки избирательной системы с той лишь разницей, что его резонансная частота перенесена в точку со = 0. Этот четырехполюсник является низкочастотным эквивалентом избирательной системы, который об суждался в § 5,12.
Как видно из (6.14), при а>с = о>0 высокочастотное заполнение на выходе имеет ту же частоту, что и на входе, а его фаза сдвинута по отношению к входной на угол ф0.
Аналогично, но несколько сложнее можно выполнить расчет в случае, если между несущей частотой со0 входного сигнала и резонансной частотой ш0 имеет ся малая расстройка Дм = <в0—ш0. Для того чтобы свести случай мс ф соа к предыдущему, преобразуем выражение (6.6) следующим образом:
«с ( t ) = U с (0 cos (со0 ( + фс) = U C (t) cos ((Мо + Аш) ^ + Фс] = |
|
— U c (t) cos АШ cos (со0 t + фс)—Д0 sin ДоЩsin (о)0 t + фс)- |
(6.16) |
Согласно соотношению (6.16) сигнал (6.6) можно рассматривать как сумму двух сигналов частоты ш0, из которых первый имеет огибающую U c(t)cosA<i>t, а второй — огибающую Uc(l) sin АШ, причем высокочастотные заполнения этих сигналов взаимно сдвинуты по фазе на 90°. Следовательно, для решения постав
ленной задачи необходимо найти реакции А 0 (0 и В 0 (■() низкочастотного |
экви |
валента на огибающие Uc(t) cos А Ш и Uc (() sin Aat и затем рассчитать |
огиба |
ющую напряжения на выходе по формуле |
|
(0 U=ffl<= y r A2(t) + B2(t) . |
|
При этом в соответствии с общим ходом рассуждений высокочастотному заполне
нию огибающей |
UBUX (0lw==e) следует приписать частоту со0. Далее, |
преобра |
|||||
зуя |
выражение |
Пвых (0 |щ=й)() cos (со0/+ ф ), нетрудно |
привести его |
к виду |
|||
^вых (0l(o=oc cos (юс< + ф), т. е. |
осуществить обратный переход от частоты |
||||||
©о к |
частоте шс. |
|
выкладок совершенно |
аналогичен |
изложенному, но более • |
||
При выполнении |
|||||||
удобен следующий |
формальный |
прием. |
Вместо двух |
огибающих Uc cos Acot |
|||
и Uc sin Acot рассматривают одну комплексную огибающую Псе,Ло>/, воздей ствующую на вход НЭ. Тогда реакция последнего получается комплексной и имеет вид А 0 (t )+ jB a (t).
202
Поскольку формальный переход от частоты ис заполнения к частоте ш0 был выполнен умножением огибающей на множитель e!&b>t, то обратный пе
реход осуществляем умножением на е~,А“б Поэтому, для того чтобы перене сти частоту высокочастотного заполнения выходного напряжения на toc, сле
дует умножить полученную комплексную реакцию эквивалента |
на ё~'д'<а( и |
выделить вещественную и мнимую части выражения: |
|
lA0(t) + jB0(t)]e~iAat=A(l) + jB(t), |
(6.17) |
после чего огибающая выходного напряжения может быть найдена по формуле
^вых (t) |ш = (Вс= У А» it) + B*(t). |
|
|
(6.18) |
Спектральная плотность комплексной огибающей Uc |
в |
соответ |
|
ствии с теоремой смещения может быть выражена в виде |
1/с Ц (со —ЛсоЦ, т. е. |
||
может быть получена из спектральной плотности Uc (/со) |
огибающей |
Uc (t) за |
|
меной /со на / (со—До). |
|
|
|
Спектр широкополосного входного воздействия. |
|
Широкополосным |
|
назовем такое входное воздействие, спектральная плотность которо го изменяется в пределах полосы пропускания избирательной систе мы настолько мало, что может считаться в указанных пределах не изменной. Типичным примером такого воздействия являются импульсные по
мехи, представляющие |
собой |
видеоим |
|||
пульсы различной формы. |
|
|
|||
Пусть видеоимпульс имеет экспо |
|||||
ненциальную форму |
(апериодическая |
||||
помеха), т. е. |
|
|
|
|
|
:(0 = |
О |
при |
/ < |
0, |
|
Нппм e -w |
при |
t > |
0. |
||
|
|||||
|
|
|
(6.19) |
||
Комплексная спектральная плотность такого импульса помехи вы ражается интегралом Фурье
-1-00 |
|
со |
Uп |
|
|
„„ л (/® )= $ “ш>м(Ое-'ш'Л |
= |
5 Ином е -* ' е-/«( dt = |
(6.20) |
||
Я -f- /со |
|||||
—со |
|
О |
|
||
Модуль спектральной плотности (6.20) равен |
|
|
|||
К о м ( / ® ) | |
= |
Н пом/ / Я * + со2. |
|
(6.21) |
|
Согласно графику, соответствующему (6.21) и приведенному на рис. 6.2, апериодическая помеха наиболее интенсивна в области са мых низких частот. С ростом частоты модуль ее спектральной плотно сти монотонно уменьшается. Следовательно, при равных полосах про пускания длинноволновые приемники в значительно большей степе ни, чем коротковолновые, подвержены действию апериодических помех.
Избирательная система вырезает из спектра помехи часть его, со ответствующую полосе пропускания системы. Поэтому при расчетах можно с достаточной точностью заменить реальную помеху идеализи
203
рованной со спектральной плотностью в области частот со « со0, равной «пом (/со0),а в области частот со « — со0, имеющей комплексно сопряженное значение «пом (—/со0).
Расчет переходных процессов при широкополосном входном воз действии. Учитывая соотношения (6.3) и (6.4), по аналогии с выраже нием (6.12) можно записать спектральную плотность выходного напря жения при широкополосном входном воздействии следующим обра зом:
«вы х О'®) = К о { е «>0 « пом (/со0) и [/ (со — |
со0)] -ь |
||
+ e -W » и пом ( — / 4 ) * |
I/ (® + © о)!} |
= |
|
■= Ко I «пом 0 4 ) I { е ' ^ + ^ о м ) я |
[/ (со — |
со0)] - f |
|
+ е- / (*.+*пом) к (/- |
+ |
ш0)]}, |
(6.22) |
где фпом — аргумент комплексной спектральной плотности помехи |
|||
на частоте со0.
Реакция избирательной системы на помеху выражается с помощью
обратного преобразования |
Фурье |
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
«вых (0 = |
~ J «вы х (/® ) е /<0' С?® = |
|
|
|
|
f е/ (Фо+Фпом) +f |
|
|
|
- К о I «пом (/®) I |
( ------- ^ |
------- J 54[/ (® - ®о)] |
X |
|
|
|
—оо |
|
|
—/(Фл+Фддм) р |
[ . |
1 |
||
Х е /и /с/со-|---------------------- к [/ (со -f- ю0)] e/to/ dco |
(6.23) |
|||
|
2л |
J |
|
1 |
Теперь, как и ранее, в первом интеграле (6.23) введем новую пере менную интегрирования О = со— со0, а во втором— = со + со0 и перейдем от показательных функций к тригонометрическим. Тогда получим
«вы* (0 = 2/С01«п0М (/®0) I j S |
и (/Й )е /0< й?Й |
X |
Xcos(co0/ + ф0+ фпом). |
(6.24) |
|
Определим смысл выражения в фигурных скобках (6.24), введя под знак интеграла постоянный множитель /(„I нпом (усо0) |. При этом напомним, что спектральная плотность дельта-функции, обладающей единичной площадью, равна
|
-\-OQ |
|
6 (/со) |
$ d ( t ) e - w d i = l . |
(6.25) |
|
—оо |
|
204
В соответствии с этим замечаем, что выражение
-f-00 |
|
UBmV)" 2я I ^пом (/0)0) | К() к (}Q) е-;ш dQ. |
(6.26) |
представляет собой реакцию низкочастотного эквивалента Л)0х (/Q) избирательной системы на воздействие в виде дельта-функции, обла дающее площадью | «пом (/о)0) |. С учетом (6.26) выражение (6.24) приобретает вид
«вы* (0 = |
2/7вых (0 cos (<в0/ + ф0 + |
Фпом). |
(6-27) |
Полученные результаты позволяют сделать |
следующие |
выводы. |
|
При широкополосном |
входном воздействии форма огибающей выход |
||
ного напряжения не зависит от формы входного импульса и опреде ляется лишь свойствами избирательной системы. Частота выходного напряжения равна собственной частоте избирательной системы. Переходный процесс в рассматриваемом случае может быть охаракте ризован следующим образом. В момент появления импульса помехи избирательная система приобретает некоторый запас энергии, тем больший, чем больше модуль спектральной плотности ыпом (/о>0).
После этого в ней возникают затухающие собственные колебания. Заключительные замечания. В основе изложенного в настоящем параграфе метода расчета лежит спектральный подход к задаче. Это позволяет наиболее четко показать существо метода и рассмотреть с единых позиций случаи узкополосного и широкополосного входных воз действий. Однако при практических расчетах удобнее использовать ме тод операционного исчисления, основанный на преобразовании Лапла са. Это вызвано двумя причинами: 1) для ступенчатых функций и, тем более, для функций, возрастающих во времени, интеграл Фурье в классе обычных функций не существует и приходится либо переходить к обобщенным функциям, либо прибегать к тем или иным искусствен ным приемам; 2) для преобразования Лапласа во многих изданиях (например, в [1]) приведены подробные таблицы соответствий между изображениями и оригиналами, позволяющие избежать вычисления интегралов обращения. Как будет видно из последующего текста, переход от преобразования Фурье к преобразованию Лапласа не вы
зывает никаких затруднений.
Рассмотренному приближенному методу расчета можно придать различную форму. В работе Д. В. Агеева и Ю. Б. Кобзарева [2], на иболее ранней из числа посвященных переходным процессам в изби рательных системах, исходными являлись дифференциальные уравне ния системы, которые упрощались на основе того, что выходное на пряжение имеет медленно меняющуюся амплитуду (медленно меняю щейся называется амплитуда, относительное изменение которой за один период высокочастотного заполнения незначительно). Примени тельно к избирательным системам метод медленно меняющиеся ам
205