Материал: Разработка математической модели гидроразрыва пласта

и уравнения баланса импульса, которое было получено А. Дарси экспериментальным путем для случая медленного стационарного движения несжимаемой жидкости в неподвижной изотропной пористой среде. В современных обозначениях данное уравнение именуется законом Дарси и для фильтрации в поле тяжести имеет вид:

Известно, что температурное поле в скважинах и пластах определяется конвективным теплопереносом, теплопроводностью и теплоотдачей, адиабатическим эффектом и эффектом Джоуля-Томпсона, фазовыми переходами при выделении газа и парафинов, а также, в нашем случае, искусственными источниками тепла.

Уравнение теплопроводности, описывающее распространение тепла в заданной области пространства во времени для функции  в общем виде можно записать:

Представленная в данной работе математическая модель, описывающая процессы в пласте, исходит из предположений о том, что пористая среда представляет собой многокомпонентую систему, хаотически распределенных частиц, которые, малы по сравнению с физическими объемами, считаемыми элементарными, но имеют достаточно большие размеры для выполнения условий локального равновесия и всех законов сохранения. Предполагается, что средние по всякому элементу поверхности, содержащемуся в элементе объема, равняются средними по этому объему. Кроме того предполагается, что:

несущая фаза сжимаема;

твердая фаза парафина и скелет несжимаемы;

температура и параметры, связанные с ней (насыщенность подвижной/неподвижной фаз парафина и результирующая парафинонасыщенность являются адиабатическими параметрами, т.е. за период колебания не успевают заметно измениться.

Случай изотропной среды.

Как было показано выше, истинная скорость стационарной фильтрации в полях сил тяжести  и других массовых сил  подчиняется закону Дарси, который записывается в виде:

Нетрудно показать, что соотношение эквивалентно наличию объемных фиктивных сил трения:

,

В случае нестационарной фильтрации для описания процессов в пласте использовано уравнение движения, в котором учтено действие сил трения:

. (1)

Если выражение для силы трения представить в виде:

, (2)

то уравнение движения жидкой фазы:

, (3)

когда полное ускорение жидкой фазы равно нулю ,  сводится к закону Дарси для истинной скорости фильтрации :

Закон изменения (сохранения) массы фильтрующейся жидкости при отсутствии источников записывается в форме уравнения неразрывности, где в дивергентном слагаемом полагаем , :

. (5)

В уравнении движения (3) также полагаем  и , и пренебрегаем слагаемыми второго порядка по скорости. Затем подействуем оператором набла на полученное векторное уравнение, имеем:

. (6)

Далее подставим в (6) значение , найденное из (5):

.

Дальнейшие преобразования первого слагаемого осуществим в предположении, что компоненты тензора проницаемости не зависят от пространственных координат и времени:

. (7)

Для слабо анизотропной среды, когда разница между компонентами тензора проницаемости много меньше их полных значений, двумя последними слагаемыми в (7) можно пренебречь. Исключив дивергенцию вектора скорости с помощью линеаризованного уравнения неразрывности, получим:

=. (8)

Для линеаризованных уравнений состояния для жидкой фазы ρ = ρ(P,T) = = и скелета ρs = ρs(P,T) =  баротропное приближение для произведения плотности жидкости на пористость может быть представлено в линеаризованной по давлению форме:

, .

С учетом этого уравнение для поля давления в анизоторопной однородной среде представляется в виде:

. (9)

Найденное уравнение позволяет определить две скорости распространения фильтрационной волны, относящиеся к соответствующим координатам и соответствующие коэффициенты пъезопроводности:

, ,, .

Сжимаемость пористой среды β выражается через сжимаемости жидкости и скелета:

.

Итак, фильтрационно-волновое поле давления в пористой среде в указанных выше приближениях описывается уравнением:

. (10)

Путем сопоставления полученного уравнения с классическим уравнением колебаний определена величина коэффициента затухания, а также выражение для времени релаксации:

,

Для типичных параметров реально встречающихся пластов k ~ 10-12 м2, r0 ~ 103 кг/м3, m~ 10-3 кг /(м×с), m0 ~ 10-1 значение времени релаксации составляет  ~ 10-5 с, что соответствует частоте порядка 105 Гц, которая может быть использована для оценки верхней границы.

Далее иллюстрируется построение физико-математической модели установившегося двумерного фильтрационно-волнового поля при заданных гармонических возмущениях давления на границе на основе полученного уравнения (10).

2. Постановка задачи о волновом поле

Рис. 3 иллюстрирует геометрию течения в прямоугольной системе координат, ось zd которой совпадает с осью скважины. Здесь неоднородная среда представлена тремя областями с плоскими границами раздела zd = ±h, перпендикулярными вертикальной оси. Покрывающий и подстилающий пласты считаются слабопроницаемыми в горизонтальном направлении, средняя область толщины 2h (-h < zd < h) является хорошо проницаемой и в горизонтальном и в вертикальном направлениях. Для простоты течение в центральном пласте полагается плоским (в осях zd, xd), а в окружающей среде - одномерным (по оси zd,). В предположении, что свойства подстилающих и покрывающих пластов идентичны, постановка задачи упрощена с использованием условия симметрии .

Рис. 3. Геометрия задачи: 1 - подстилающая и покрывающая среда

Математическая постановка задачи для комплексного возмущенного поля давления в таких предположениях включает волновое уравнение, учитывающее преобладание вертикального движения, в верхнем пласте:\

, , , (11)

волновое уравнение в центральном пласте:

, , , , (12)

условие симметрии в центре пласта:

 (13)

В начальный момент времени возмущения давления отсутствуют:

, , , . (14)

На границе раздела сред заданы равенства давлений и потоков:

 . (15)

Давление на левой границе изменяется согласно зависимости:

. (16)

С использованием соотношений:

, , , , , ,

, , ,

где P10 - максимальный перепад давления, а j - номер области, запишем задачу в безразмерном виде:

, , , (17)

, , ,, (18)

 (19)

   (20)

 , (21)

. (22)

Установившееся решение задачи будем отыскивать в виде:

, . (23)

Для амплитуд давления задача запишется следующим образом:

, , (24)

, , , (25)

 (26)

, , (27)

. (28)

Предполагается, что решение является регулярным на бесконечности, т.е. при устремлении пространственных координат в бесконечность искомое решение, а при необходимости и его производная, ограничены либо обращаются в нуль.

. Разложение по асимптотическому параметру. Введем произвольный асимптотический параметр e перед первой и второй производными от функции возмущения давления в центральном пласте по z, как в уравнениях, так и в граничных условиях задачи. Физический смысл параметра e, заключается в том, что устремление указанного параметра e к нулю соответствует возрастанию до бесконечности вертикальной компоненты скорости фильтрационной волны cz, что является причиной выравнивания волнового фронта по толщине пласта.

Постановка параметризованной задачи имеет вид:

, , (29)

, , , (30)

  (31)

, , (32)