Материал: Разработка математической модели гидроразрыва пласта

Отметим, что исходная задача совпадает с параметризованной при равенстве формального параметра единице e = 1. Задача является, таким образом, частным случаем более общей параметризованной, содержащей формальный параметр асимптотического разложения e.

В соответствии с концепцией метода [решение задачи будем искать, представляя функцию давления Р каждой из областей асимптотической формулой по параметру e:

,

. (34)

Сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения e, получим разбитую по коэффициентам асимптотического разложения задачу:

, , (35)

, , , (36)

, (37)

 (38)

, (39)

. (40)

Анализ задачи показывает, что сомножители при степенях e содержат соседние коэффициенты разложения и в этом смысле являются «зацепленными». Для решения соответствующего уравнения в п. 4 осуществлена процедура расцепления.

. Постановка задачи для эквивалентной плоской волны. Формально устремим e к нулю в уравнении (8) получим . С учетом граничных условий (9), (11), результат интегрирования , позволяет установить, что . Таким образом, что нулевой коэффициент асимптотического разложения давления является функцией только от x и не зависит от z: , т.е. представляет собой эквивалентную плоскую волну, волновые поверхности которой параллельны оси z..

Приравнивая к нулю коэффициенты при e в уравнении (8), запишем:

. (41)

Учитывая, что P(0)(x) не зависит от переменной z, введем вспомогательную функцию E(x), также не зависящую от z:

 (42)

Последовательным интегрированием найдем выражения для первой производной от первого коэффициента P(1) по переменной z:

 (43)

и первого коэффициента разложения:

 (44)

с функциональными коэффициентами , подлежащими определению. Используя граничные условия (11) при сомножителе  в первой степени и (9) запишем:

,

. (45)

Следует выражение для функционального коэффициента  через след производной из внешней области:

 (46)

Подставив выражение, получим уравнение для определения нулевого приближения поля давления в пласте:

 (47)

Окончательная постановка задачи в нулевом приближении включает также уравнение в окружающих породах:

, (48)

а также соответствующие граничные и начальные условия:

, (49)

. (50)

Краевая задача для нулевого коэффициента разложения  или нулевого приближения (7) - (10) относится к неклассическим, поскольку уравнение для пласта содержит след производной из внешней области.

Непосредственным интегральным усреднением задачи заключающимся в применении интеграла осреднения  к уравнению, получим следующую постановку:

,

,

.

Нетрудно убедиться, что представленная задача для асимптотически осредненных по толщине центральной зоны значений давления совпадает с задачей для нулевого коэффициента с точностью до обозначений.

Таким образом, физический смысл нулевого коэффициента разложения или нулевого приближения заключается в описании эквивалентной плоской волны в интервале , отыскание которой соответствует нахождению асимптотически усредненного по толщине слоя, в котором осуществляется определение эквивалентной плоской волны, решения исходной задачи.

. Нахождение эквивалентной плоской волны. Решение задачи найдено с использованием интегрального синус-преобразования Фурье по переменной х:

 (51)

Математическая постановка волновой задачи в нулевом приближении в пространстве изображений Фурье по переменной х запишется в виде:

математический волновой фурье трансцилляторный

, (52)

, (53)

. (54)

Решение уравнения с учетом граничного условия представляется через  как:

, где  (55)

Из выражения найдем след производной из внешней области:

 (56)

Подставляя выражение в уравнение, после простых преобразований получим алгебраическое уравнение для определения :

,

откуда окончательно имеем следующие выражения для решения задачи в пространстве изображений Фурье:

,

.

Применяя обратное синус-преобразование Фурье получим следующие выражения для нулевого приближения:

, (57)

 (58)

При этом (57) описывает эквивалентную плоскую волну в центральном слое, а (58) вол новой фронт в настилающем пласте. В справедливости полученных выражений нетрудно убедиться прямой подстановкой выражений в задачу (47).

. Спектральные соотношения для эквивалентной плоской волны. Для определения спектральных соотношений выражение (57) запишем в виде:

,

где коэффициент поглощения a представляется выражением:

, (59)

а волновое число b:

. (60)

Выражения (61) и (62) содержат вспомогательные функции:

. (61)

Для однородной изотропной среды эти соотношения запишутся как:

,  (62)

, (63)

. (64)

На рисунке 4 представлены зависимости коэффициента поглощения от циклической частоты при ее малых (a) и больших (б) значениях, рассчитанные для неоднородной анизотропной среды по формуле (61) - кривые 1 (К = 2, С = 4, X = 2), 2 (K = 1, C = 1, X = 1), 4 (K = 0.5, C = 0.25, X = 0.5) и по формуле (64) - кривая 3 - для случая однородной изотропной среды. В расчетах принято Af = 10-6. Сопоставление кривых показывает, что увеличение проницаемости вмещающей среды приводит к увеличению коэффициента затухания кривая 1, а уменьшение к снижению коэффициента затухания кривая 4 в сравнении с однородной средой - кривая 4, при достаточно больших w. Различие между кривыми 2 и 3 описывает вклад анизотропии, поскольку окружающееся среда считается проницаемой только в вертикальном направлении.

Рис. 4. Зависимость коэффициента поглощения от циклической частоты при ее малых (a) и больших (б) значениях: 1, 2, 4 - неоднородная среда, 3 - однородная среда

На рисунке 5 представлены зависимости коэффициента фазы от циклической частоты, рассчитанные при тех же значениях, что и на рисунке 2 по формулам (62) для неоднородной среды и (65) для однородной. С увеличением частоты, как следует из анализа кривых, коэффициент фазы возрастает. При этом с увеличением проницаемости окружающих пород «крутизна» кривых возрастает. При больших значениях w зависимость b от w является линейной. Область нелинейной зависимости увеличивается с увеличением проницаемости окружающей среды.

Рис. 5. Зависимость коэффициента фазы от циклической частоты при ее малых (a) и больших (б) значениях: 1, 2, 4 - неоднородная среда, 3 - однородная среда

Рисунок 6 иллюстрирует зависимости фазовой скорости от циклической частоты, рассчитанные по формулам (6.6) - кривая 3 и (6.3) - кривые 1, 2, 4. Расчетные параметры те же, что и на рисунках 2 и 3. Из фигуры следует, что при малых частотах с увеличением частоты фазовая скорость возрастает. При больших значениях безразмерных частот фазовая скорость от ω не зависит.

Рис. 6. Зависимость фазовой скорости от циклической частоты при ее малых (a) и больших (б) значениях: 3 - однородная среда, 1, 2, 4 - неоднородная среда

После умножения решения задачи в нулевом приближении на exp(iwt) действительную часть (57), (58) представим виде:

, (65)

. (66)

Из (67) и (68) следует, что волновой процесс в нулевом приближении (или «в среднем») может быть представлен в пласте в виде плоской затухающей волны, распространяющейся по оси x. Эта волна возбуждает в точке z = 1 бегущую по z затухающую волну в окружающих породах со сдвигом фазы - bx , соответствующим приходу к точке x возбуждающей волны.

На рисунке 7 представлено распределение давления вдоль горизонтальной оси при различных значениях вертикальной координаты в момент времени t = 0. Расчетные параметры: w = 5, Х = 2, Af = 1, С = 4, К = 2.

Рис. 7. Распределение давления вдоль горизонтальной оси при различных значениях вертикальной координаты: 1 - z = 0, 2 - 2, 3 - 3

Отыскание выражений для первого коэффициента разложения уточняет геометрию волнового фронта в области осреднения. В этом смысле первый коэффициент асимптотического разложения можно рассматривать как погрешность плоского представления рассматриваемого фильтрационно-волнового процесса.

. Определение погрешности плоского представления фильтрационно-волнового процесса. Для первого коэффициента разложения имеем:

, , (67)

, , , (68)

, (69)

, , (70)

. (71)

Задача является «зацепленной», так как уравнение (72) и выражение (74) содержат коэффициенты первого и второго порядков разложения. Для «расцепления» используем выражение для первого коэффициента разложения, полученного в разделе 4. Из (44) с учетом (45), (46) и (57) выражение для  можно записать в виде:

, (72)

где  - функция, подлежащая определению. Запишем выражение для производной второго коэффициента разложения: