Материал: Разработка математической модели гидроразрыва пласта

, .

 равно нулю согласно условию симметрии. Далее, запишем:

. (73)

Получим уравнение для первого коэффициента разложения :

, , . (74)

Задача для  содержит также следующие уравнение и соотношение:

, , (75)

. (76)

Задача имеет бесконечное множество решений. Однако если к ней добавить условие (75), то указанная задача имеет только тривиальное решение. Для получения единственного решения задачи для первого коэффициента разложения условие (75) следует ослабить и заменить нелокальным средне интегральным, которое найдено ниже путем осреднения задачи для остаточного члена.

. Определение дополнительных условий для поправки к плоской волне. Подставив асимптотические формулы:

, ,

воспользовавшись известными соотношениями для нулевого и первого коэффициентов, запишем:

, , (77)

,

, , (78)

, (79)

, (80)

, (81)

. (82)

Эта задача по сложности сопоставима с исходной. Для нахождения дополнительного условия усредним задачу в интервале центрального пласта, применив интегральную процедуру:

.

С учетом результатов интегрирования:

,

Получим следующую осредненную по толщине центрального пласта задачу для остаточного члена:

, , (83)

, , (84)

, (85)

. (86)

Искомое нелокальное среднеинтегральное условие определяется из требования тривиального решения осредненной задачи для остаточного члена. Необходимыми условиями тривиального решения задачи являются обращение в нуль правых частей уравнения:

 , (87)

. (88)

Условие (88) используется в качестве граничного в задаче для первого коэффициента разложения. Ниже показано, что при добавлении этого условия задача для первого коэффициента разложения имеет единственное решение. При этом осредненная задача для остаточного члена имеет только нулевое решение. Поскольку осредненное значение остаточного члена при этом равно нулю, то построенное решение является в некотором смысле «в среднем точным» асимптотическим решением.

. Определение поправочных функций. Задача для первого коэффициента разложения запишется как:

, , (89)

, , , (90)

,  (91)

. (92)

Решение этой задачи отыскивается с использованием синус-преобразования Фурье, уравнение запишем в виде:

Из формулы следует , коэффициент  определяется из условия: . С учетом полученных соотношений задача в пространстве изображений представится в виде:

, , (93)

  (94)

. (95)

Структура решения уравнения запишется как:

. (96)

Аналогично нулевому приближению решение уравнения имеет вид:

. (97)

Определим след производной из внешней области для уравнения (96):

. (98)

После подстановки (98) в уравнение (96) и простых преобразований получим алгебраическое уравнение для определения (s):

.

С учетом (57) запишем выражение для Qu(s) в виде:

. (99)

. (100)

. (101)

Решение задачи для первого коэффициента разложения имеет вид:

, (102)

. (103)

В справедливости полученных выражений нетрудно убедиться прямой подстановкой выражений в задачу:

Получим выражения для реальной части первого коэффициента разложения в центральном пласте и окружающей среде:

,

где:

,

.

Выражения для первого коэффициента разложения уточняют фильтрационно-волновые поля давления в нулевом приближении и обеспечивают детальное описание геометрии волнового фронта в пласте. Отметим, что коэффициенты поглощения a, фазы b, функций частоты  и d в первом коэффициенте разложения определяются теми же выражениями, что и в нулевом приближении.

На рисунке 8 изображено распределение давления по вертикальной оси в нулевом и первом приближениях. Расчетные параметры: w = 1, X = 1, Af = 1, C = 1, K = 1, x = 1, t = 0. Первое приближение уточняет геометрию фронта исследуемой волны в зоне представления плоской волной.

Рис. 8. Распределение давления по вертикальной оси в нулевом и первом приближениях: кривая 1 - нулевое приближение, кривая 2 - первое

. Проверка достоверности представления волны в виде плоской. Точное решение задачи получено с помощью синус-преобразования Фурье:

, , (104)

, , , (105)

, (106)

, . (107)

Решение уравнения (101) имеет вид:

.

Общее решение уравнения (92) запишется как:

,

где . Из (103) следует, что С1 = С2. Вид С1 определяется из условия (104):

.

Точное решение задачи (101) - (104) представится в виде:

,

.

С помощью довольно громоздких преобразований нами показано, что  при e ® 0 совпадает с выражением (57), а  - с выражением (92). Такое сопоставление является прямой проверкой справедливости развитого выше метода решения волновых задач сопряжения.

Итак, применение «в среднем точной» модификации асимптотического метода к задаче о фильтрационно-волновом поле в неоднородной анизотропной среде позволяет представить выражения для любого волнового процесса в виде плоской волны (нулевое приближение), а также определить реальную геометрию волнового фронта (первое приближение). При этом нулевой и первый коэффициенты совпадают с разложением Маклорена точного решения задачи о фильтрационно-волновых полях в неоднородной пористой среде. Поэтому найденные решения расширяют возможности исследования полей давления применительно к реальным условиям в акустическом каротаже, сейсморазведке и при интенсификации нефтеизвлечения.

Заключение

В данной работе представлена разработка математической модели гидроразрыва пласта.

Для реализации поставленной цели в квалификационной работе необходимо решить следующие задачи:

) выполнить анализ литературы по теме исследования;

) изучить теоретические основы ГРП.

Таким образом, достигнута поставленная цель через решение следующих задач:

) выполнить анализ литературы по теме исследования;

) изучение теоретических основ ГРП.