Наконец, необходимо указать, что не только горные поро ды, но и сама нефть может обладать реологическими свойства ми, отличающими ее от ньютоновской жидкости. Например, она может характеризоваться предельным напряжением сдви га. Если при фильтрации ньютоновской жидкости справедлив закон Дарси, то фильтрация нефти, обладающей предельным напряжением сдвига, характеризуется законом, предложенным А. X. Мирзаджанзаде. Формула этого закона имеет вид
» = — ^(gradp —g0), |
(11.84) |
где go — начальный градиент давления. Чтобы началась фильт рация жидкости по формуле (11.84), должно быть соблюдено условие grad p>go.
Ввиду важности для разработки нефтяных месторождений
расчетов фазового |
состояния |
пластовых |
жидкостей и газов |
рассмотрим пример. |
|
|
|
П р и м е р 11.2. Допустим, что в |
некотором замкнутом объеме V содер |
||
жится Ni килограммов |
углеводородного компонента |
1, т. е. газа, и Nч кило |
|
граммов компонента 2, т. е. нефти, при стандартных условиях Т= То=const. Будем приближенно считать газ идеальным. Растворимость газа в нефти под чиняется закону Генри. Заранее известно, что содержание углеводородов в объеме V таково,' что их смесь находится в двухфазном состоянии, причем содержание второго компонента в газе мало и его можно считать равным нулю. Требуется определить давление р в замкнутом объеме V и его насыщен ность s жидкой фазой.
|
Для жидкой фазы из (11.80) имеем следующее уравнение: |
|
|
sV = |
Ja. |
Рак ’ |
(11.85) |
|
PlK |
|
|
где L\ — масса первого компонента в жидкой фазе; рщ — его кажущаяся плот ность; Lj=Ar2 — масса второго компонента в жидкой фазе, где он и находится.
Масса растворенного в нефти газа
Lx — VVpPoi.
где Ро! — плотность газа при стандартных условиях. Кроме того,
Ун= ^-а/Рак»
где рзк — кажущаяся плотность нефти или плотность дегазированной нефти. Таким образом, из формулы закона Генри (11.68) получим
*•1 |
gpoi^-aP |
gpoi-V.p |
( 11. 86) |
|
Рак |
Рак |
|||
|
|
По условию газ считается идеальным, а условия являются изотермическими. Тогда для плотности газа рг имеем выражение
Рг = PoiPiРо•
где p.i — стандартное давление (принимаем р0 = 105 Па). Из приведенного вы ражения имеем для массы газовой фазы Gi
G i — (1 Sj 1 рг— |
(1 — s) ГрQIP |
(11.87) |
|
Ро |
|||
|
|
76
Согласно балансу газа
+ £1 = #i-
Подставляя в это выражение (11.85), (11.86) и (П.87), получим квадрат
ное уравнение |
|
|
|
|
ер2— Ьр + с = 0; |
|
|
|
|
вф201^2 |
£ _ °Фо1#2Р0 ~b ^РснРгК # 2 Р0 1 |
|
( 11. 88) |
|
Р1 кРгкРо 1 |
РгкРо |
|
||
|
|
|||
Определим параметры рассмотренного фазового состояния. Пусть У =1м 3, |
||||
#1=25 |
кг, #2=500 |
кг, а=0^8-10_3 м3/(м3-Па), |
рхк = 0,2-103 |
кг/м3, Р2к= |
=0,8• 103 кг/м3, род = 0,8 кг/м3. Подставляя эти цифры в уравнение |
(11.88), по |
|||
лучим |
д=1,6-10-13, £ = 0,7-10-6, с=25 (размерности |
опускаем). Решая квад |
||
ратное уравнение и опуская один из его корней, не удовлетворяющий исход ным уравнениям, имеем
0,7.10-6— (0,33-10-10)1/2 |
= 39' 1№Па. |
|
р = |
3 ,2 -10“13 |
|
Далее |
получим s = 0,7 £ = 1 5 |
кг, С = 10 кг. Таким образом, задача решена. |
Рассмотрим в общем виде другой метод решения этой же задачи, но без предположения о расстворимости газа в нефти по закону Генри. Для этого используем коэффициенты распределения компонентов (константы равнове сия).
Будем, как и выше, для простоты считать, что второй компонент не переходит в газ, т. е. что G2=0. В этом случае в соответствии с формулой (11.71) имеем
* ip= Klp{ ~ P ^ ' Тпкр ) = ~Х\ ' |
*2Р = 0- |
|
||
Считая газ идеальным и используя приведенные соотношения, приходим к |
||||
системе алгебраических уравнений |
|
|
||
KIP = 1 + |
#2 ^ 1 |
|
|
|
АМч ; |
|
|
|
|
s V = l l . |
Р2К’ |
|
|
|
PIK |
|
|
|
|
<?1=М |
#2Мд |
|
GlPo |
(11.89) |
мг(к1Р- \ у |
P = |
Poi<‘ - s ) V |
||
Систему (11.89) необходимо решать методом итераций, получив предваритель но зависимость К\Р от р/рпкр, Т/Тпкр путем аппроксимации эксперименталь
ных данных, а также определив по рГ-диаграмме для двухкомпонентной сме си давление схождения рп кр и соответствующую ему температуру Тиир.
Можно вместо формулы закона идеального газа использовать иные урав нения газового состояния, учитывающие реальные свойства газа. Метод рас чета фазового состояния с использованием констант равновесия дает воз можность лучше учесть фазовое взаимодействие реальных углеводородов, но он влечет за собой более сложные вычисления.
§ 8. И С П О Л Ь З О В А Н И Е М А ТЕМ А ТИ ЧЕС К И Х М Е Т О Д О В
П Р И РАСЧЕТАХ Р А ЗР А Б О Т К И
Модель разработки нефтяного месторождения обычно пред ставляется математически в виде системы, состоящей из алгеб раических, дифференциальных, интегральных уравнений или
77
соотношений. Для того, чтобы провести расчет на основе уже созданной модели разработки месторождения, необходимо сна чала решить соответствующие математические задачи. Только получив решение этих задач можно осуществлять сам расчет
вцифрах.
Внастоящем параграфе дается на ряде примеров описание
основных математических методов, применяемых при решении задач разработки нефтяных месторождений.
Методы получения точных решений задач математической физики
Многие задачи разработки нефтяных и газовых месторож дений сводятся к решению классических уравнений математи ческой физики. В ряде случаев можно получать решения за дач математической физики, в точности удовлетворяющие ис ходным уравнениям, начальным и граничным условиям. Такие решения называются точными. К числу методов, дающих точ ные решения задач разработки нефтяных месторождений, от носится хорошо известный из курса математики метод разде ления переменных (метод Фурье), методы функций комплекс ного переменного, интегральных преобразований, получения автомодельных решений и др.
Методы функций комплексного переменного являются клас сическими методами решения задач установившейся фильтра ции несжимаемой жидкости в плоских пластах. Рассмотрим эти методы при установившемся притоке жидкости к источни кам (скважинам).
1. Уравнение неразрывности массы жидкости, фильтрую щейся в плоском пласте, имеет, исходя из (11.42), следующий
ВИД.
(П.90)
Подставляя в это уравнение формулу закона Дарси
(П.91)
подучим уравнение Лапласа
(П.92)
Введем потшдаал фшшгравдш в воде
Ф—ЛЯ#-
Взлом случае вместо уравнения (ШЖ) подучим
Введем комплексный потенциал
(z) = Ф-[- гф; |
z = x->r iy. |
(11.94) |
Входящая в выражение (11.94) функция ф=ф |
(х, у) — функ |
|
ция линий тока. В теории плоского потенциала доказывается, что комплексный потенциал F{z) и функция линий тока удов
летворяют условиям Коши — Римана
дф _ |
дф |
дф |
дф |
(11.95) |
|
дх |
ду ' |
ду |
дх * |
||
|
Таким образом, любая аналитическая функция комплексного переменного z=x-\-iy описывает некоторое плоское течение в пласте. Пусть, например,
F(z) = a > + n | > = - ^ln z . |
|
(11.96) |
|
Полагая z= reie, (0 = arctgy/x) из |
(11.96) получим |
|
|
F (г) = Ф + ^ = |
(In г + й ) = |
^lnr + i arctg - f ), |
(II.97) |
отсюда |
|
|
|
ф = - щ - Ь г ’ |
^ = - щ - атс^ - т - |
(11.98) |
|
|
|
|
|
r=(x2+ y 2)V2; |
Р= 2^ Г 1п^ 2+ у2)1/2' |
|
|
Из приведенных формул следует, что комплексный потенциал по формуле (11.96) выражает решение задачи установившейся фильтрации жидкости в неограниченном плоском пласте к единственному точечному источнику. Как видно из (11.98), дав ление при г= 0 стремится k—оо, а при г— >-оо оно также неогра
ниченно возрастает. Тем не менее можно приближенно исполь зовать это решение и для расчета распределения давления в плоском пласте с несколькими источниками конечного радиуса (скважинами), используя то обстоятельство, что уравнение Лапласа (11.90) линейно и сумма нескольких решений вида (11.98) есть тоже решение уравнения (11.90).
Допустим, что в неограниченном плоском пласте (рис. 46) по оси л' располагается бесконечная цепочка источников (сква жин). Каждая из скважин находится на расстоянии 2о от со
седней. Для того чтобы найти решение задачи о течении жид кости в пласте, достаточно рассмотреть течение жидкости только в одной полосе шириной 2а, расположенной по обе сто роны от оси у.
Получить формулу притока жидкости к одному источнику можно было бы путем суммирования бесконечного числа ре шений типа (11.98) для источников, расположенных на рас-
79
Рис. 46. Схема бесконечной це почки гкдяжин в плоском пла
сте:
1— сжважины; 2 — полоса тира нов 2а
о ш ® ш |
(л=1, 2, 3...) от рассматриваемого источника, |
натдавдешса в начале координат. Однако более компактно |
|
это можно сделать, применив конформное преобразование по
лос», расположенной в плоскости z= x-\-ig |
(см. рис. 46), в не- |
||
огратченнун» плоскость комплексного |
переменного £=|+1ч- |
||
Такое конформное преобразование дает функция |
|||
C .s jn - S .. |
|
|
(Н.99> |
Еслга обозначить |
то |
|
|
(&+*& )= $ т % е ш |
|
sm |
= |
« н |
= ^ , |
|
т т |
% =Ийф; |
|
|
|
Ташим образом, в пвлосшосот £=|ННч| имеем
Г - Р + Ч И 1^ |
(ПЫШ) |
|
|
Ирш конформном шреобразшавши, |
осущеоштаемшм фршвдюей |
РД.ЭД, любой тгаяше шошошг — |
шшшедедшуед' ©шреде- |
ленная ноша вшвшаапн |
|
Рашдашриш комшшктмй шопеЕшрал F((2£j) в шшжевош ^
оиишваштей -шгчшше к шшшшку в этой шшошшхст. Штшешяв случае
* ® “ ' к И “£ ' рл «в»
Можно с довдашгаюм шрнбшяишнем сяигаащ, чпо ивтасш® шжчншо ноочншша в лшвшшгш £ сувдшшуеяг (ггсгазшв1шм1 р®-