Материал: Разработка нефтяных месторождений.

диусом рс, где потенциал равен Фс. Тогда примем, что на расстоянии рк от центра скважины потенциал равен Фк. Для де­ бита скважины в плоскости £ можно написать формулу Дюпюи

2nh (Фк — Фс)

(11.103)

In (Рк/Рс)

Перейдем снова к плоскости z. При больших значениях у те­ чение в полосе — будет параллельным оси у. Для этой

оси из (11.101) имеем

р л; shny/o.

Поэтому, согласно рис. 46, можно положить

n L

Из этого выражения соответственно получим lnpK= nLfo—In 2.

При значительных расстояниях по оси у имеем nz^$>a. Тогда можно положить

In рк =55 nLfo.

При незначительных пу/а

я у я у

асГ

Следовательно,

1прс= 1п(лгс/ст).

Подставляя приведенные значения 1прк н 1прс в формулу (11.104), получим

r [ L + - r lai k )

По формуле (11.104) можно определить дебит одной скважины из бесконечной цепочки скважин, расположенных в неограни­ ченном пласте, при условии, что на некотором, достаточно большом расстоянии L от осп х давление равно рЕ, а в сква­ жинах малого радиуса гс оно составляет рс.

2. Рассмотрим решение одной из основных задач теории теплопроводности, весьма необходимое при расчетах тепловых методов разработки нефтяных месторождений. Пусть имеем полубесконечныи стержень площадью сечения S, полностью

теплоизолированный от окружающей среды. Начальная

Уравнение (11.107) есть уравнение теплопроводности при пря­ молинейном распространении тепла, а входящий в него коэф­ фициент хт называется к о э ф ф и ц и е н т о м т е м п е р а ­ т у р о п р о в о д н о с т и . В соответствии с условиями задачи

(11.108)

Т = Тг при х = 0, t > 0.

Рассмотрим функцию f(x, t), определяемую следующим об­ разом:

82

Функция f(x, t), очевидно, также удовлетворяет уравнению теп­ лопроводности (11.107), как и Т (х, t), т. е.

Для получения решения рассматриваемой задачи применим преобразование Лапласа, для чего умножим левую и правую части (11.111) на e~st (s — некоторый параметр) и проинтегри­ руем эти части в пределах от нуля до бесконечности. В резуль­ тате получим

Учитывая независимость переменных х и t, функцию f{x,t) можно дифференцировать под знаком интеграла. Из (11.113) имеем, помня, что s — некоторый параметр,

После интегрирования правой части выражения (11.112) полу­

Первый член в выражении (11.115) равен нулю, так как при верхнем пределе он равен нулю в результате стремления к нулю экспоненты, а при нижнем пределе вследствие того, что f(x, 0) =0 по условию задачи.

Для установления постоянной интегрирования С выполним граничное условие (11.110). Однако найдем прежде всего, че-

му равно F (О, s): Из граничного условия (11.110)

Функцию f(x, t ) по ее изображению F(x, s) найдем по табли­ цам оригиналов функций и их изображений по Лапласу. Имеем

X

2 Via

Получим, наконец, выражение для скорости переноса тепла на границе х=0. Из приведенного решения с учетом (11.106) на­ ходим

Поток тепла qT через сечение стержня площадью 5 при х = 0

тУ nxTt

3.Рассмотрим цриток жидкости (нефти) с постоянным де­ битом q к точечному стоку, расположенному в однородном бес­ конечно простирающемся плоском пласте толщиной h при упругом режиме. Сток находится в центре координат, и тече­ ние к нему в пласте радиальное. В начальный момент време­

.84

Учитывая закон Дарси и сжимаемость пласта (сжимаемость пород пласта и насыщающей их жидкости) из (11.123) полу­ чим уравнение упругого режима в следующем виде:

(11.124)

где рс и рж — сжимаемость соответственно пород пласта и на­ сыщающей пласт жидкости. Остальные обозначения такие же, что и принятые выше в формуле закона Дарси. Введем функ­ цию f(r, t) следующим образом:

2nkh(pK— р)

(11.125)

q\i

Следовательно, граничное и начальное условия будут

85