Выполним граничные и начальное условия, которые при приближенном решении задачи имеют несколько иной вид, чем при точном решении, а именно
Т = Т0 при x = l(t)\
(11.148)
Т = Тг при х = 0.
Должно также всегда выполняться условие /(0)= 0 . При ре шении задачи приближенным методом необходимо также до полнительно выполнять условие
дТ |
= 0. |
|
(11.149) |
д х I |
|
||
\х=1(О |
|
|
|
Соблюдая приведенные условия, получим |
|
||
А> = |
Т0 = ATij |
|
|
Л = -2 Д Г 1; |
|
|
|
А2 = АТг. |
|
|
|
Таким образом |
|
|
|
Т - 7 ’0 = ДГ1[ 1 - 2 - ^ г + |
- ^ г ]. |
(11.150) |
|
Для |
определения l(t) |
подставим (11.150) в |
(11.146) при |
п = 0, считая li(t)=0. В результате получим уравнение |
|||
6xTd/ = Idl. |
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
l = 2 V ^ J , |
|
(11.151) |
|
т. е. задача решена.
Определим, как и в примере II.4, скорость уноса тепла при JC=0. Имеем
'тх=о |
д Т |
д х х=0 |
%т\Т 1
(11.152)
У з м
Сравнивая приведенное приближенное выражение с точным (11.122), находим, что скорость уноса тепла, определенная
приближенным методом, будет больше точной в Ул/3 раз, т. е. всего примерно на 2%.
Численные методы
В расчетах разработки нефтяных месторождений чаще все го применяют конечно-разностные методы. При использовании этпх методов дифференциальные уравнения, описывающие про цессы разработки нефтяных месторождений, представляют в
91
конечно-разностной форме. Ко нечно-разностные уравнения ре шают с помощью быстродейству ющих электронно-вычислитель ных машин. Удобные для ис пользования точные решения за дач разработки нефтяных место рождений практически обычно получают только для одномер ных случаев (прямолинейное и радиальное течения). При необ ходимости же рассчитать про цессы разработки пластов с уче том их сложной геометрической формы, получить точные и даже приближенные решения не уда ется. В таких случаях решить за дачу можно, применяя числен ные методы. Например, необхо
1 — контур области; 2 — ячеЛка А димо рассчитать перераспреде ление давления в области со сложной конфигурацией (рис, 50) при упругом режиме. В этом
двумерном случае уравнение пругого режима имеет вид
(11.153)
Область течения нефти в плоском пласте разбивается на множество ячеек с размерами Ах, Ау и h соответственно по осям х, у и z. Рассмотрим ячейку А, которая при бесконечном дроблении (Ах— >-0, Ау— >-0) превращается в точку А. Будем считать, что в этой ячейке давление равно рц. При замене в уравнении (11.153) бесконечно малых приращений конечными выражения для производных преобразуются следующим об разом
др |
___ |
Pi+lJ— Pij |
|
|
|
|
|
|
|||
дх |
|
|
|
Ах |
|
|
|
|
|
|
|
д*р |
|
|
_ L |
| f Pi+lJ— Pij |
Pij |
|
Pi-i,j |
|
(11.154) |
||
дха |
|
|
|
, |
|||||||
|
|
Ах |
\L |
Дх |
|
|
|
Ax |
|
||
д'2р |
|
|
1 |
/f Pi,j+l |
Pij |
Pij |
|
Pi,j-1 ' |
|
||
W |
|
|
Ау |
\к |
&У |
|
|
|
Aу |
t |
|
Подставляя |
(11.154) |
в уравнение (11.153), получим |
|
||||||||
* Ы |
г |
' Pi+lJ— Pij |
|
Pij— Pi-i,j \ |
|
|
|
||||
{ |
Ax |
|
|
Ax |
J 1 |
|
|
||||
_L |
1 |
' Pi,j+1 — Pij |
|
Pij |
Pij-1 |
\ |
p i |
M i _ p k . J |
(11.155) |
||
|
|
|
|||||||||
{ |
Ay |
|
|
Ay |
)\ |
At |
|||||
1 |
Ay |
|
|
|
|||||||
92
Здесь pkitj — давление в ячейке А в момент времени /; p u k+l — давле ние в той же ячейке в момент вре мени /+ЛЛ
Граничные и начальные условия при решении задач численными ме тодами также приводят к соответ ствующей конечно-разностной фор ме. Соотношение (11.155) представ ляет собой алгебраическое уравне ние. Таким образом, при использо вании конечно-разностных методов вместо дифференциальных решают алгебраические уравнения.
Аналоговые методы
/
Рис. 51. Ячейка А:
1 — электрические |
сопротивле |
ния |
|
Рассмотрим в несколько увели ченном виде ячейку А, взятую из рис. 50. В соответствии с
электрогидродинамической аналогией (ЭГДА) фильтрационные сопротивления можно заменить электрическими, как это пока зано на рис. 51. Согласно закону Ома, для силы тока ix и iy в направленияхх х и у имеем выражения
S_ |
AU |
. _____ 5_ |
AU |
(11.156) |
||
р |
Ах • |
у |
р |
At/ ’ |
||
|
||||||
где 5 — площадь поперечного сечения электрического провод ника; р — удельное электрическое сопротивление; А/7 — прира щение электрического напряжения.
Сравним выражения (11.156) с формулой закона Дарсщ представленной в конечно-разностной форме. Имеем
k |
Ар |
_ |
k |
Ар |
|
(11.157) |
|
р |
Ах ’ |
У |
р |
Ау |
’ |
||
|
|||||||
Выражения (11.156) |
и |
(11.157) совпадают, если давление жид |
|||||
кости заменить электрическим напряжением, скорости фильтра
ции— силой электрического |
тока, |
а £ /р — величиной 5/р. Ука |
|
занные взаимно заменяемые |
величины — аналоги друг друга. |
||
Так, сила тока — аналог скорости |
фильтрации, |
электрическое |
|
напряжение U — аналог давления, электрическая |
проводимость |
||
S/р — аналог фильтрационной проводимости. |
|
||
В случае упругого режима аналогом сжимаемости пласта |3 является электрическая емкость С. Следовательно, можно на писать
р = аС/; (5= ЗС, (11.158)
где а, b и с — коэффициенты пропорциональности.
9Э
Подставляя (11.158) в уравнение упругого режима, полу чим
(11.159)
Процессы, описываемые уравнением (11.159), можно моде лировать на специальных устройствах, называемых электроин теграторами, подключая к каждой ячейке соответствующие электрические сопротивления и электрические емкости. По фор мулам (11.158) проводим пересчет электрических параметров, экспериментально определяемых на электроинтеграторах, на •соответствующие фильтрационные параметры.
Контрольные вопросы
1.Расскажите о классификации моделей пластов.
2.Получите формулу, определяющую трещинную прони
цаемость трещиноватого пласта. Найдите связь между трещин ной проницаемостью, густотой трещин и трещинной пори стостью.
3.Объясните методику построения модели слоисто-неодно родного пласта по данным геолого-геофизических исследований.
4.Напишите и объясните формулы плотности и закона
.логарифмически нормального распределения абсолютной про ницаемости.
5.Напишите и объясните формулы плотности и закона гамма-распределения абсолютной проницаемости.
6.Какие фундаментальные законы естествознания исполь зуют при моделировании процессов разработки нефтяных и газовых месторождений? В виде каких уравнений они выра жаются?
7.Что называется коэффициентом распределения («кон стантой равновесия») вещества в газовой и жидкой фазах?
8.Напишите формулу, выражающую зависимость пористо сти пород пласта от среднего нормального напряжения. В ка кой теории используют эту зависимость?
9.Расскажите о связи между вертикальной компонентой напряжения (вертикальным горным давлением), средним нор мальным напряжением и пластовым давлением. В какой тео рии используют эту связь?
10.Выведите формулу для распределения пластового дав ления в случае притока жидкости из однородного бесконечного пласта к точечному стоку. Покажите, какой вид приобретает
формула при малых значениях г/fx/. При каких расчетах ис пользуют эту формулу?
11. Выведите формулу для дебита скважины в элементе од норядной системы разработки методом эквивалентных фильт рационных сопротивлений.
94
Г л а в а III
РАЗРАБОТКА НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ ПРИ ЕСТЕСТВЕННЫХ РЕЖИМАХ
§ 1. ПРОЯВЛЕНИЕ УПРУГОГО РЕЖИМА
Разработка нефтяного месторождения при упругом режиме — это осуществление процесса извлечения нефти из недр в усло виях, когда пластовое давление превышает давление насыще ния, поля давлений и скоростей продвижения нефти и воды, насыщающих пласт, а также воды в его законтурной области неустановившиеся, изменяющиеся во времени в каждой точке пласта.
Упругий режим проявляется во всех случаях, когда изме няются дебиты добывающих нефть скважин или расходы воды, закачиваемой в нагнетательные скважины. Однако даже при установившемся режиме в пределах нефтеносной части пласта, например в процессе разработки месторождения с использова нием законтурного заводнения, в законтурной области будет наблюдаться перераспределение давления за счет упругого ре жима. Упругий режим с точки зрения физики — расходование или пополнение упругой энергии пласта, происходящее благо даря сжимаемости пород и насыщающих их жидкостей. При пу ске, например, добывающей скважины давление в ней умень шается по сравнению с пластовым. По мере отбора нефти запас упругой энергии в призабойной зоне уменьшается, т. е. нефть и породы оказываются менее сжатыми, чем раньше. Про должающийся отбор нефти из пласта приводит к дальнейшему расходованию запаса упругой энергии и, следовательно, к рас ширению воронки депрессии вокруг скважины.
С уменьшением пластового давления до значения, меньше го, чем давление насыщения, из нефти начнет выделяться ра створенный в ней газ и режим пласта изменится — упругий режим сменится режимом растворенного газа или газонапор ным.
Теорию упругого режима используют главным образом для решения следующих задач по разработке нефтяных месторож дений.
1.При определении давления на забое скважины в резуль
тате ее пуска, остановки или изменения режима эксплуатации,
атакже при интерпретации результатов исследования скважин
сцелью определения параметров пласта.
На основе теории упругого режима создан наиболее извест ный в практике разработки нефтяных месторождений метод, определения параметров пласта по кривым восстановления
95-