ленной позади фронта вытеснения ее водой, продолжает дви гаться в этой среде и извлекаться из нее по мере закачки в образец воды. В таком случае вытеснение нефти из образца пористой среды характеризуется кривой 2 (см. рис. 74).
Возьмем два образца пористой с^еды. В образце 1 процес су вытеснения нефти водой соответствует кривая 1, а в образ це 2 — кривая 2 (см. рис. 74). Допустим, что к началу водного периода извлечения нефти в эти образцы было закачано по одному и тому же количеству воды Q*B3. Как видно из рис. 74, из образца 1 при QB3> Q * B3 почти не извлекается нефть, а из образца 2 добывается значительное количество нефти. Можно отметить, что для образца 2 существенное значение имеет водный период добычи нефти, в течение которого в пористой среде происходит совместная (двухфазная) фильтрация нефти и воды.
Кривую 1 можно аппроксимировать двумя прямыми — на клонной, соответствующей условию 0 ^ Q B3^ Q * B3, и параллель ной оси абсцисс, справедливой при QB3>Q*B3. Обе прямые на рис. 74 показаны пунктирными линиями. Этой аппроксимации
соответствует |
определенная модель |
процесса вытеснения неф |
ти водой из |
пористых сред — модель |
поршневого вытеснения |
нефти водой. |
|
|
Для описания процессов вытеснения нефти водой из пори стых сред, характеризующихся кривыми типа 2 (см. рис. 74), используют модель совместной (двухфазной) фильтрации неф ти и воды.
Обе модели основаны на экспериментальных характеристи ках процесса вытеснения нефти водой из пористых сред. При поршневом вытеснении экспериментально определяют коэффициент вытеснения г)i и объем закачанной в пористую среду воды QB3, равный объему извлеченной из нее нефти. При двухфазной фильтрации используют зависимости фазовых или относительных проницаемостей для нефти и воды от насы щенности пористой среды водой, описанные в гл. II.
§ 2. РА СЧЕТ П О К А З А Т Е Л Е Й Р А ЗР А Б О Т К И С Л О И С Т О Г О ПЛАСТА НА О С Н О В Е М О Д Е Л И П О Р Ш Н Е В О Г О В Ы Т Е С Н Е Н И Я Н ЕФ ТИ В ОДОЙ
Показатели, близкие к реальным, .получают в ряде случаев при расчете разработки нефтяных месторождений с помощью модели, состоящей из моделей процесса поршневого вытесне ния нефти водой и слоистого пласта.
Прежде всего рассмотрим процесс поршневого вытеснения нефти водой из одного прямолинейного слоя (пропластка) тол
щиной hi и длиной /, пористостью |
пи и |
проницаемостью |
kt |
|
(рис. 75). |
|
в |
пропласток, равно |
|
Пусть давление воды, входящей слева |
||||
ри а давление воды на выходе из |
него р2. |
Будем считать, |
что |
|
132
Рис. 75. Модель прямо линейного пропластка при поршневом вытесне нии нефти водой
в течение всего процесса вытеснения нефти водой из слоя
перепад давления Ap=pi—р2 постоянный. В соответствии с моделью поршнёвого вытеснения нефти водой остаточная нефтенасыщенность в заводненной области слоя остается постоян ной, равной SHOCT. Согласно рис. 75, фронт вытеснения зани мает в момент времени t положение xBi= xBi(t). Ширина про пластка, измеряемая в направлении, перпендикулярном к пло скости чертежа (см. рис. 75), равная ширине всего пласта, составляет Ь. При постоянном перепаде давления на входе в пропласток и на выходе из него расход закачиваемой воды qi будет изменяться со временем.
Предположим, что в заводненной зоне, т. е. при О^х^Хв/, связанная вода с начальной насыщенностью sCB полностью смешивается с закачиваемой водой, так что условно (см. рис. 75) заводненная область насыщена остаточной нефтью и этой
смесью. Тогда |
суммарный объем |
воды QB3j, вошедший |
в об |
ласть пропластка при О ^х^Я вь |
можно определить по |
фор |
|
муле |
|
|
|
Qbsi ~ mbhi (1 |
sHост sCB) xBi. |
(IV. 11) |
|
Дифференцируя это выражение по времени t, получим сле дующую формулу для расхода воды, поступающей в i-й про пласток:
*?B3i — mbhl (1 —s„ ост—sCB) |
. |
(IV. 12) |
С другой стороны, можно, согласно обобщенному закону Дарси, т. е. с учетом того, что фазовые проницаемости для воды и нефти соответственно составляют k ^ = k bk, k^n= kH (kb и kH— постоянные относительные проницаемости), получить для расхода воды следующее выражение:
7n3i |
b j b j h i {Рх— Рт) |
(IV. 13) |
|
PB*BI (О |
|||
|
|
||
где рв — вязкость воды. |
|
||
|
При рассмотрении процессов вытеснения нефти водой при |
||
нимают, что нефть и вода — несжимаемые |
жидкости. Сжимае- |
||
133
мость пород пласта также не учитывают. Поэтому, аналогично формуле (IV.13), можно написать для дебита нефти, получае мой из того же нго пропластка, выражение
Qsi |
kjkHbhj (pBi |
р2) |
|
|
|
|
|
|
(IV.14) |
||||
|
Ри |
х вi) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где р,н — вязкость нефти. |
|
и (IV.14), исключая из них давле |
|||||||||||
|
Из |
выражений |
|
(IV. 13) |
|
||||||||
ние pBi на фронте вытеснения, получим |
|
||||||||||||
*7вз1 |
Яш |
|
|
|
kibhihp |
|
|
|
|
||||
Рн |
Г |
( |
|
|
_ |
М'И\ |
(О |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
*в ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ьр = р1 — рг- |
|
|
|
|
|
|
|
|
(IV. 15) |
||||
|
|
Приравнивая |
(IV. 12) |
|
и (IV.15), получим следующее диф |
||||||||
ференциальное уравнение относительно xBi(t): |
|
||||||||||||
Г |
И-Н |
/___ ( Р н ________Р в |
^ |
у |
1 |
d x в |
; ______________ k j A p __________ |
(IV. 16) |
|||||
L |
*н |
|
\ |
|
Ав / |
BiJ |
dt |
|
т (1 — sHост — sCB) |
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Интегрируя |
(IV. 16) |
и учитывая, что л:В( = 0 при |
t = 0, прихо |
||||||||
дим к следующему квадратному уравнению относительно хВ1. |
|||||||||||||
|
Рн |
1у |
__ [ |
М'И______ Рв |
| |
■у2вi |
__________kj& pt_______ |
(IV. 17) |
|||||
|
|
D * |
\ |
/гн |
|
|
J |
|
2 |
|
m ( 1 — SH O C T — S C B ) |
|
|
Решая это квадратное уравнение, получаем окончательные формулы для определения xBi в пропластке с проницаемостью k в любой момент времени
Рн* (1 — l/l — <pktt)
*вi (0 =
(IV. 18)
|
2Др |
Рн |
Ф = |
(■ |
|
|
Рн2/2 |
|
т ( 1 |
s H о с т — 5 СВ) |
|
Для того чтобы получить формулу для определения време ни U обводнения £-го пропластка с проницаемостью k*, поло жим в первой формуле (IV. 18) *B,=i.
Тогда
т (1 — s„ ост - |
sCB) |
+ - f f - j Z2- |
|
(IV. 19) |
|
2Др£* |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формулы |
(IV. 19) |
следует, |
что |
пропласток с очень боль |
шой проницаемостью обводнится |
в |
самом начале процесса |
||
вытеснения нефти водой из слоистого пласта.
134
Рассмотрим процесс вытеснения нефти водой из слоистого пласта. Для удобства сложим мысленно все пропластки этого пласта в один «штабель», причем таким образом, чтобы абсо лютная проницаемость пропластков изменялась последователь но, начиная с наименьшей и кончая самой высокой.
Пусть, например, в нижней части этого «штабеля» располо
жен пропласток с самой большой проницаемостью, а вверху — |
||
с наименьшей проницаемостью. Согласно |
вероятностно-стати |
|
стической модели слоисто-неоднородного |
пласта, |
суммарную |
толщину h пропластков, проницаемость |
самого |
проницаемого |
из которых не ниже, чем некоторое значение, равное k, можно
установить в соответствии с |
формулой закона распределения |
|
проницаемости следующим образом: |
|
|
hlh = F(k), |
(IV.20) |
|
где h — общая толщина всех пропластков в «штабеле». |
|
|
Формулу (IV.20) можно |
представить в дифференциальном |
|
виде, т. е. через плотность |
распределения, следующим |
обра |
зом: |
|
|
-у - = F' (k) dk = f {k) dk. |
(IV.21) |
|
Здесь f(k ) — плотность |
вероятностно-статистического |
рас |
пределения абсолютной проницаемости.
Вытеснение нефти водой из слоистого пласта в целом можно рассматривать и иным образом, считая, что в некоторые слои
толщиной Дh и проницаемостью k поступает |
вода с расходом |
Дq. Тогда из формул (IV.15) и (IV.18) |
|
Дq = — |
(IV.22) |
Рн* V 1 — |
|
С учетом (IV.21) из (IV.22), заменяя конечные приращения соответствующих величин их дифференциалами и опуская ин декс t, найдем
dq |
b k ^ p h k f (k ) d k |
|
(IV.23) |
M V 1 — Ф** |
|
||
|
|
|
|
|
Согласно модели поршневого вытеснения, из обводнившихся |
||
пропластков нефть |
не извлекается — из |
них поступает только |
|
вода. Обводняются, |
конечно, в первую |
очередь высокопрони |
|
цаемые пропластки. |
В используемых в теории разработки неф |
||
тяных месторождений моделях пластов условно принимают, что в слоисто-неоднородных пластах могут быть слои с беско нечно большой проницаемостью. Таким образом, к моменту времени /=/*, когда обводнятся все слои с проницаемостью k ^ k t, можно добывать нефть лишь из слоев с проницаемостью k^zk*. В соответствии со сказанным для дебита нефти из рас-
135
сматриваемого слоистого пласта на основе (IV.23) получим следующее выражение:
—А*
<7н(0 |
bkHhAp |
Г kf (k) dk |
|
(IV.24) |
Рн^ |
~\/1 — фkt |
|
|
|
|
|
T /l~ |
|
|
Дебит воды qB(t) можно определить также с учетом указан |
||||
ных соображений по формуле |
|
|||
|
|
А* |
|
(IV-25) |
|
|
|
|
|
С помощью приведенных формул можно, задаваясь после |
||||
довательно |
значениями |
времени t=ti,, |
по. (IV.19) определять |
|
&*. Затем, предполагая, |
что плотность |
вероятностно-статистиче |
||
ского распределения абсолютной проницаемости . известна, можно определить, проинтегрировав (IV.24) и (IV.25), qBl qB
и q ~~ qж ~~ qн~] qв.
Приведенные выкладки и формулы пригодны, как уже было указано, для случаев, когда в течение, всего процесса вытесне ния нефти водой из слоистого пласта перепад давления не из
меняется. Когда |
же задано |
условие постоянства расхода qB3 |
||
закачиваемой в |
слоистый |
пласт |
воды, получают |
несколько |
иные соотношения для определения |
дебитов нефти |
и воды, а |
||
также перепада давления, который в данном случае будет из меняться с течением времени. Если qB3 = const, справедливы формулы (IV.15) и (IV.16), следует при этом учитывать, что
перепад давления |
Ар — функция времени, т. е. Ap=Ap(t). |
||
Введем функцию ф: |
|
|
|
t |
Л |
Рн |
Рв - ) v |
ф = Л J Ар (t) dt, |
sHост |
(IV.26) |
|
о |
ш (l |
sCB) рн2/2 |
|
|
|
|
|
Из формулы (IV.15), если ее записать относительно диф ференциалов расхода q и толщины пласта h, с учетом (IV.26) получим
^bkHAp (/) kdh
(IV.27)
Яв3~ Рнl V T = W
Как и в случае постоянного перепада давления, при по стоянном расходе закачиваемой в слоистый пласт воды к неко торому моменту времени t= t* часть слоев окажется полностью обводненной и из них будет добываться только вода, из другой же части будут добывать безводную нефть. Поэтому полный расход закачиваемой во всю толщу слоистого пласта воды qB3 можно определить в результате интегрирования выражения
136