Документ: Решение краевых задач для уравнения Лапласа (96, страницы 16-20

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ные функции этой задачи найдены в п.2.3 и имеют вид

λn =	n	2		nx
	π	, Xn(x) = sin		π		,		n N.
	a			a
Таким образом, решение краевой задачи (3.10)–(3.12) будем
искать в виде разложения в ряд Фурье
			∞
	u(x, y) =		X		πnx		,	(3.14)
			Cn(y) sin
			n=1		a

где Cn(y) — коэффициенты Фурье функции u(x, y) по системе собственных функций оператора Lx.

Для того чтобы определить коэффициены Cn(y) этого разложения, подставим ряд (3.14) в уравнение (3.10) и заменим, согласно (3.13), Xn00(x) на −λnXn(x). В результате приходим к следующему равенству:

∞	nx
X	π
n=1 Cn00(y) − λnCn(y) sin	a	= 0,

из которого получаем дифференциальное уравнение относительно искомой функции Cn(y):

Cn00(y) −

πn

2

Cn(y) = 0,

0 < y < b.

(3.15)

a

В

силу

граничных

условий

(3.12)

искомые

коэффициенты

Cn(y) должны удовлетворять следующим условиям:

Cn(0) = ϕn,

Cn(b) = ψn,

(3.16)

где ϕ

=

(Φ, Xn)

, ψ

=

(Ψ, Xn)

. При заданных функциях

n

(Xn, Xn)

Φ(x) и Ψ(x) находим

a

Z

dx! =

Z

2

x

nx

a

x

nx

0

ϕn =

U0

sin

π

dx +

U0

1 −

sin

π

a

πn

2

4U0

=

sin

;

π2n2

2

a

πx

πnx

если

U

,

n = 1;

ψn =

Z0

U0 sin

sin

dx =

0,0

если

n 6= 1.

a

16

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Далее запишем общее решение дифференциального уравнения (3.15) в виде

Cn(y) = An sh	πny	+ Bn sh	πn(b − y)
	a
			a

и определим коэффициенты An и Bn из условий (3.16):

Bn sh	πnb	= ϕ , An sh	πnb	= ψ .

	a	n	a	n

Тогда с учетом вычисленных ранее значений ϕn и ψn, выражения для An и Bn примут вид

A1 =

U0

,

An = 0 при n N \ {1};

sh

πb

a

πn

sin

U0

Bn = 4

2

, n N.

π2

n2 sh

πnb

a

Подставив найденные значения коэффициентов An и Bn в ряд (3.14), получим решение краевой задачи (3.10)–(3.12) в следующей форме:

sh

πy

πx

∞

sin

πn

sh

πn(b − y)

πnx

a

U0

2

u(x, y)=U0

a

sin

+ 4

sin

.

sh

πb

a

π2

n=1

n2

sh

πnb

a

X

Замечание. При решении задачи Дирихле и смешанных краевых задач с неоднородными граничными условиями искомую функцию u(x, y) можно искать в виде суммы двух функций

u(x, y) = v(x, y) + w(x, y),

где функция w(x, y) подбирается таким образом, чтобы она удовлетворяла неоднородным граничным условиям, например, по переменной x. Тогда функция v(x, y) = u(x, y) − w(x, y) может быть определена из решения краевой задачи с однородными по переменной x граничными условиями.

При решении задачи Неймана такой подход применим не всегда, поскольку полученная для функции v(x, y) краевая задача может оказаться неразрешимой.

17

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Приведем пример решения типовой задачи домашнего задания.

Задача 2 (смешанная краевая задача). Решить задачу

u(x, y) = 0,

0 < x < a, 0 < y < b;

(3.17)

ux

= χ(y),

ux

a = ξ(y);

(3.18)

где

u

x=0= ϕ(x),

u

x== ψ(x),

(3.19)

y=0

y=b

U

y

3

U

y

3

χ(y) =

0

,

ξ(y) =

0

2 +

;

a

b

a

b

x

2

U0x

x

ϕ(x) = U0 1 +

,

ψ(x) =

1 +

.

a

Решение.

Будем искать решение u(x, y)

краевой задачи (3.17)–

(3.19) в виде

u(x, y) = v(x, y) + w(x, y),

где w(x, y) — функция, выбираемая таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям (3.18) или (3.19). Полагая

	U			x	y	3
w(x, y) =	0	(x2	− y2) + U0			,
	a2			a	b

видим, что эта функция удовлетворяет граничным условиям (3.18):

U

y

3

U

2 +

y

3

.

wx x=0 =

0

, wx x=a =

0

a

b

a

b

Далее, учитывая,

что

wxx =

2U0

, wyy = −

2U0

6U0

+

xy;

a2

ab3

w

x

2

, w

U

x

y=0 = U0 a

y=b = a20 (x2 − b2) + U0 a ,

находим

v(x, y) = u(x, y) −

w(x, y) = 0 − (wxx + wyy) = −

6U0

xy;

ab3

x=a

−

x=a

vx

x=0

= ux x=0

− wx

x=0 = χ(y) − wx

x=0

= 0;

b

2

vx

= ξ(y) wx

= 0;

18

v y

= ϕ(x)

−

w

y

= U0; v y

=

b

= ψ(x)

−

w y

=

b

= U0

.

=0

a

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

В результате для функции v(x, y) получаем краевую задачу с однородными граничными условиями по переменной x:

v(x, y) = f(x, y),

0 < x < a,

0 < y < b;

(3.20)

vx x=0 = 0,

vx x=a = 0;

b

2

(3.21)

v

6U0

= U0

,

(3.22)

y

= U0,

v

y

=

b

=0

a

где f(x, y) = −

xy.

ab3

Запишем уравнение (3.20) в виде

∂2v

= Lx[v] + f(x, y),

∂y2

где Lx = −

∂2

, и рассмотрим следующую задачу Штурма – Лиу-

∂x2

вилля:

L

X

x

X x

,

0.

< x < a

( Xx[

(

)] =, λX

(a)

;

(3.23)

0(0) = 0

0( ) = 0

Напомним, что в этом случае существует собственное значение

λ0 = 0, которому соответствует собственная функция X0(x) ≡ 1. Собственным же значениям λn = πn 2, n N отвечают соб-

ственные функции Xn(x) = cos πnxa . a

Согласно методу Фурье, решение v(x, y) краевой задачи (3.20)– (3.22) будем искать в форме разложения в ряд Фурье по системе собственных функций {Xn(x)}∞n=1 оператора Lx:

X∞

v(x, y) = Cn(y)Xn(x),	(3.24)
n=0

где Cn(y) — коэффициенты Фурье функции v(x, y), которые необходимо определить таким образом, чтобы приведенный ряд удовлетворял уравнению (3.20) и граничным условиям (3.22).

Для определения функций Cn(y) подставим ряд (3.24) в уравнение (3.20). В результате получим

∞	∞
X	X
Cn00(y)Xn(x) +	Cn(y)Xn00(x) = f(x, y).
n=0	n=0

19

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

С учетом (3.23) последнее равенство примет вид

∞
X
C00	(y)	−	λnCn(y) Xn(x) = f(x, y).	(3.25)
n		−

n=0

Так как разложение функции f(x, y) в ряд Фурье единственно, то коэффициенты ряда, записанного в левой части равенства (3.25), представляют собой коэффициенты Фурье функции f(x, y) и могут быть найдены по формулам

C000(y) = β0(y);

(3.26)

Cn00(y) −

πn

2

Cn(y) = βn(y),

n N,

(3.27)

a

где βn(y) =

(f, Xn)

.

(Xn, Xn)

Определим функции βn(y):

a

β0(y) =

1

Z0

6U0

3U0

(−1)

xy dx = −

y;

a

ab3

b3

a

β

(y) =

2

Z0

(

−

1)

6U0

xy cos

πnx

dx =

12U0

y

(1 + (−1)n+1)

,

n

a

ab3

a

π2b3

n2

n N.

В силу граничных условий (3.22)

∞

πnx

X

C0(0) +

Cn(0) cos

a

= U0,

n=1

X

nx

b

2

∞

C0(b) + n=1 Cn(b) cos

π

= U0

a

искомые функции Cn(y) должны удовлетворять условиям

b

2

C0(0) = U0,

C0(b) = U0

;

(3.28)

a

n N.

Cn(0) = 0

и

Cn(b) = 0 при

(3.29)

Найдем частное решение дифференциального уравнения (3.26), удовлетворяющее условиям (3.28). Дважды проинтегрировав урав-

20

Материал: Решение краевых задач для уравнения Лапласа (96

Смотрите также: