Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М
Решение. Видим, что данное уравнения – это уравнение конуса (3.48) ( a = 2, b = 3, c = 2 ). Верен второй ответ.
Тестовое задание 3.82
Поверхность, определяемая уравнени- |
|
эллиптическим цилиндром |
|||||
|
x2 y2 |
|
|||||
|
|
гиперболическим цилиндром |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
ем 100 + 4 =1, является… |
|||||||
|
конусом |
||||||
|
|
|
|
|
|
сферой |
|
|
Решение. Данное уравнение на |
плоскости xOy описывает эллипс |
|||||
( a =10, b = 2 ). Поскольку это уравнение рассматривается в пространстве, то
оно описывает цилиндрическую поверхность (см. рис. 3.48), направляющая которой – эллипс. Делаем вывод, что данная поверхность – эллиптический цилиндр. Правильным является первый ответ.
Тестовое задание 3.83 |
|
|||||||
Уравнение |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= 0 |
определяет |
|
p |
q |
r |
||||||
|
|
|
|
|
||||
конус второго порядка, если…
p < 0, q < 0, r > 0 p > 0, q > 0, r > 0 p < 0, q < 0, r < 0 p < 0, q > 0, r < 0
Решение. Из уравнения конуса (3.48) следует, что коэффициенты при квадратах двух переменных обязательно одного знака, а при квадрате третьей переменной – другого знака, т.е. либо два коэффициента положительные, третий отрицательный, либо два коэффициента отрицательные, третий - положи-
тельный. В нашем уравнении коэффициенты равны 1p , 1q , 1r , поэтому нужные знаки коэффициентов в первом и в четвертом вариантах ответа.
Тестовое задание 3.84
Уравнение z = − |
x2 |
− |
y2 |
определяет |
|
2 p |
2q |
||||
|
|
|
эллиптический параболоид, если…
p > 0, q > 0 p > 0, q < 0 p < 0, q > 0 p < 0, q < 0
Решение. Из уравнения эллиптического параболоида (3.46), следует, что коэффициенты при квадратах переменных должны быть одного знака. В предлагаемых ответах нас устраивает первый и четвертый.
136
|
3.2.8. Кривизна плоской кривой |
|||||
Тестовое задание 3.85 |
|
|
|
|
||
Если R – |
радиус |
окружности |
|
1 |
||
|
||||||
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
x2 + y2 +6 y = 0 , |
то ее |
кривизна |
|
|
9 |
|
R |
|
|||||
всюду равна… |
|
|
|
1 |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Так как кривизна окружности обратна радиусу, то для ее определения приведем уравнение окружности к виду (3.18), в котором видна величина радиуса. Для этого перепишем данное уравнение в виде (выделим полный квадрат)
x2 + y2 + 6 y +9 = 9 x2 +(y +3)2 = 32 ,
Теперь видно, что R2 = 32 , т.е. R = 3, поэтому кривизна равна 13 , что со-
ответствует второму ответу.
Тестовое задание 3.86 |
|
|
|
Кривизна параболы y = −x2 −4x +5 |
в |
|
0,5 |
|
|||
ее вершине равна… |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3
−2 
2
Решение. Найдем вершину параболы, преобразовав уравнение к виду
(x − x0 )2 = ±2 p(y − y0 ),
тогда (x0 , y0 ) – вершина параболы. Имеем уравнение
y + x2 + 4x −5 = 0 ,
выделяя полный квадрат, получим
y + x2 + 4x + 4 − 4 −5 = 0 (x + 2)2 +(y −9) = 0 (x + 2)2 = −(y −9). 137
|
|
|
Теперь видно, что вершина параболы – это точка (−2; 9). Для нахожде- |
|||||||||||||
ния |
кривизны графика |
функции y = f (x) |
(у нас |
|
|
y = −x2 −4x +5 ) в точке |
||||||||||
(x0 , |
f (x0 )) |
применим формулу (3.52), для использования которой нужно знать |
||||||||||||||
f |
′(x |
|
) и |
f ′′(x ). У нас |
f ′(x) = −2x − 4 |
и |
f ′′(x) = −2 . В вершине параболы |
|||||||||
|
0 |
|
0 |
f ′(−2) = (−2)(−2)− 4 = 0 и |
|
f ′′(−2) = −2 . Теперь опре- |
||||||||||
x |
= −2 , поэтому найдем |
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делим искомую кривизну K : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
K = |
|
f ′′(−2) |
|
= |
|
|
−2 |
|
|
|
|
= 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
(1 +(0)2 ) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(1 +(f ′(−2))2 )2 |
2 |
|
|
||||||||
что соответствует четвертому ответу.
3.2.9. Элементы топологии
Тестовые задания по данному разделу при тестировании включены в дидактическую единицу «Дифференциальная геометрия». Для решения предложенных тестовых заданий необходимо использовать определения п. 1.1.1.
Тестовое задание 3.87
Операцией над множествами А и В, 
результат которой выделен на рисун- 
ке, 
является…
A B A \ B
A ∩ B
B \ A
Решение. Так как на рисунке выделены все точки множества B , не принадлежащие множеству A , то на рисунке изображена разность множеств B и A (определение 1.3). Правильным является четвертый ответ.
138
Тестовое задание 3.88
Операцией над множествами А и В, 
результат которой выделен на рисун- 
ке, 
является…
A B
A \ B A ∩ B B \ A
Решение. На рисунке заштрихованы все точки, принадлежащие объединению множеств B и A (определение 1.1). Правильным является первый ответ.
Тестовое задание 3.89
Операцией над множествами А и В, 
результат которой выделен на рисун- 
ке, 
является…
A B A \ B
A ∩ B
B \ A
Решение. В этом задании выделены все точки множества A , не принадлежащие множеству B , т.е. разность множеств A и B (определение 1.3). Правильным является второй ответ.
139
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данное пособие позволит студентам всех специальностей Воронежского государственного архитектурно–строительного университета изучить такие дидактические единицы федерального интернет-экзамена по математике, как «Абстрактная алгебра», «Линейная алгебра», «Аналитическая геометрия» и «Дифференциальная геометрия», так как включает необходимые теоретические сведения по соответствующим разделам и подробное решение тестовых заданий.
Авторами планируется выпуск еще двух частей по дидактическим единицам федерального интернет-экзамена, не рассмотренным в данном пособии.
Вторая часть будет содержать
●Математический анализ;
●Функциональный анализ;
●Комплексный анализ;
●Векторный анализ;
●Дифференциальные уравнения;
●Ряды;
●Гармонический анализ.
Втретьей части будут описаны
●Теория вероятностей;
●Математическая статистика;
●Дискретная математика;
●Численные методы;
●Экономико-математические методы;
●Экономико-математические модели.
140