Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Решение. Здесь, рассуждая так же, как в тестовом задании 3.61, делаем вывод, что данные точки и соединяющий их отрезок лежат в плоскости Oxz , т.е. верен второй ответ.

Тестовое задание 3.64

В пространстве имеется отрезок, со- единяющий две точки с абсциссами разных знаков. Тогда этот отрезок обязательно пересекает…

плоскость Oxy

плоскость Oxz ось абсцисс плоскость Oyz

Решение. Так как концы отрезка имеют абсциссы разных знаков, то они лежат по разные стороны от плоскости Oyz , поэтому соединяющий их отрезок

пересекает эту плоскость – верный ответ четвертый.

3.2.6. Прямая и плоскость в пространстве

Тестовое задание 3.65
Нормальный	вектор	плоскости	(2; −1; 7)
Нормальный	вектор	плоскости	(2; −1; 7)
2x − y +7z −15 = 0 имеет		координа-	(−2; 1; −7)
ты…			(2; 7; −15)
			(2; 7; −15)
			(−1; 7; −15)

Решение. В задании дано общее уравнение (3.26) плоскости, в котором, как известно, коэффициенты при неизвестных равны соответственно координа-

там нормального вектора плоскости. Получим N = (2; −1; 7) – верен первый ответ. Второй ответ тоже правильный, так как вектор (−2; 1; −7)= −N и тоже

перпендикулярен данной плоскости. Третий и четвертый ответы не подходят, так как координаты векторов в этих ответах не пропорциональны координатам

вектора N , поэтому эти векторы не коллинеарны N и, значит, не перпендикулярны данной плоскости ( 22 ≠ −71 ≠ −715 и −21 ≠ −71 ≠ −715 ).

126

Тестовое задание 3.66

Укажите соответствие между уравнением плоскости и ее положением в пространстве

1.−2x +11 = 0

2.3y + 2z = 0

3.3y +7 = 0

υ2 υ2 плоскость xOy

υ21υ2 параллельна плоскости yOz

υ23υ2 параллельна плоскости xOz

υ22υ2 проходит через ось Ox

Решение. При обсуждении общего уравнения плоскости (3.26) рассматривались разные варианты расположения плоскости относительно системы координат, когда какие-то коэффициенты в уравнении плоскости равны нулю. Учитывая полученные при этом выводы, имеем:

1. −2x +11 = 0 , A = −2, B = 0, C = 0, D =11 – плоскость параллельна плоскости yOz (второй ответ).

2. 3y + 2z = 0 , A = 0,	B = 3, C = 2, D = 0 – плоскость проходит через ось
Ox (четвертый ответ).
3. 3y +7 = 0 , A = 0,	B = 3, C = 0, D = 7 – плоскость параллельна плоско-
сти xOz (третий ответ).

Тестовое задание 3.67

Если плоскость		Ax + By +5z −9 = 0

			−3
проходит через точку T (2; −2; 3), то

разность	A − B	коэффициентов
равна …

Решение. По условию данная плоскость проходит через точку T , поэтому при подстановке координат точки T в уравнение данной плоскости это уравнение превращается в тождественное равенство. Подставим координаты точки T в данное уравнение плоскости:

A 2 + B (−2)+5 3 −9 = 0 2A − 2B + 6 = 0 A − B = −3.

Ответ: −3 .

Тестовое задание 3.68

Уравнение плоскости, проходящей че- рез точку M (1; 1; 1) и ось Oy , имеет

вид…

x + y + z =3

x + z = 2 x − z = 0 y + z = 2

127

Решение. При изучении общего уравнения плоскости (3.26) был сделан вывод, что плоскость проходит через ось Oy , если в общем уравнении

B = 0, D = 0 . В ответах этому условию удовлетворяет третье уравнение. Подставим координаты точки М в это уравнение:

1 −1 = 0 ,

т.е. плоскость x − z = 0 проходит через точку М – третий ответ верный.

Тестовое задание 3.69

Установите соответствие между уравнением плоскости и точками, которые лежат в этих плоскостях

1.7x − y − z −3 = 0

2.x + 2 y + z −5 = 0

3.−3x + y + z + 2 = 0

4.−9x +3y + z = 0

υ222	(2; 1; 1)
υ	(1; 2; 2)
υ212	(1; 2; 2)
υ	(1; 0; 1)
υ232	(1; 0; 1)
υ
υ2 υ2	(−2; 0; 0)
υ242	(0; 0; 0)
υ

Решение. В этом задании, подставляя координаты предложенных в ответах точек в уравнения данных плоскостей, находим, каким из данных уравне-

ний эти координаты удовлетворяют.
На	первой	плоскости	лежит	точка	из	второго	ответа,	так	как
7 1 −1 2 −1 2 −3 = 0 .
На	второй	плоскости	лежит	точка	из	первого	ответа,	так	как
2 1 + 2 1 +1 1 −5 = 0 .
На	третьей	плоскости	лежит	точка	из	третьего	ответа,	так	как
−3 1 +1 0 +1 1 + 2 = 0 .

И, наконец, на четвертой плоскости лежит точка из пятого ответа, так как

−9 0 +3 0 +1 0 = 0 .

Точка из четвертого ответа не лежит ни на одной из данных плоскостей – ее координаты не удовлетворяют ни одному из уравнений.

Тестовое задание 3.70
Точкой	пересечения	плоскости	D(2; 2; 0)
Точкой	пересечения	плоскости	D(2; 2; 0)
3x + y + 2z −8 = 0 с ось Oz является…			C (0; 0; 2)
			C (0; 0; 2)
			A(0; 0; 4)
			B(0; 0; −4)
		128

Решение. Точки, лежащие на оси Oz , имеют нулевые абсциссу и ординату, т.е. искомая точка имеет координаты (0; 0; z). Так как эта точка лежит и на

плоскости 3x + y + 2z −8 = 0 , то ее координаты удовлетворяют уравнению данной плоскости, т.е.

3 0 +1 0 + 2 z −8 = 0	z = 4.
Следовательно, искомая точка (0; 0; 4), что	соответствует третьему ответу.

Тестовое задание 3.71

Укажите соответствие между уравнением плоскости и ее положением в пространстве

1.4 y −3z + 2 = 0

2.x +3y −5 = 0

3.7x −2z + 2 = 0

4.x + y − z = 0

υ22υ2

υ2 υ2

υ23υ2

υ24υ2

υ21υ2

параллельна оси Oz проходит через ось Ox параллельна оси Oy

проходит через начало координат

параллельна оси Ox

Решение. Здесь применим те же рассуждения, что и тестовом задании

3.66:
1. 4 y −3z + 2 = 0,	A = 0, B = 4, C = −3, D = 2		– плоскость параллельна
оси Ox (пятый ответ).
2. x +3y −5 = 0 , A =1, B = 3, C = 0,		D = −5 – плоскость параллельна оси
Oz (первый ответ).
3. 7x −2z + 2 = 0,	A = 7, B = 0, C = −2, D = 2		– плоскость параллельна
оси Oy (третий ответ).
4. x + y − z = 0 , A =1, B =1, C = −1, D = 0 –			плоскость проходит через
начало координат (четвертый ответ).
Тестовое задание 3.72
Если точка P(2; 3; 4)	принадлежит

		2
плоскости Ax −6 y − z +18 = 0 , то ко-
эффициент А равен …

Решение. Точка P лежит на данной плоскости. Следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости:

A 2 −6 3 −1 4 +18 = 0 2A − 4 = 0 A = 2 .

Ответ: 2.

129

Тестовое задание 3.73
Координата y0 точки A(1; y0 ; 6), при-
Координата y0 точки A(1; y0 ; 6), при-			3
надлежащей плоскости			2
7x − y +6z −40 = 0 ,			5
равна…			4

Решение. Точка

A лежит на данной плоскости. Следовательно, ее коор-

динаты удовлетворяют уравнению плоскости:

7 1 −1 y0 + 6 6 − 40 = 0 y0 = 3,

что соответствует первому ответу.

Тестовое задание 3.74

Расстояние

от точки A(4; −1; 9)

до

плоскости

3x −12 y + 4z +616 = 0

рав-

616

но…

по формуле (3.32), где (x0 ; y0 ; z0 ) –

Решение. Найдем искомое расстояние

это точка A(4; −1; 9). Получим

d =

3 4 −12 (−1)+ 4 9 + 616

676

= 52 ,

32 +(−12)2 + 42

что соответствует первому ответу.

Тестовое задание 3.75

Уравнения прямой, проходящей через

x +5

y +5

z +5

точку

A(5; 5; 5)

перпендикулярно

плоскости

5x − y −10z −3 = 0 , имеют

x −5

= y −5 = z −5

вид…

x −5

y −5

z −5

−1

−10

x +5

y +5

z +5

−1

−10

Решение. Воспользуемся каноническими уравнениями прямой (3.33), в

которых

(x0 ; y0 ; z0 ) –

точка, через которую проходит прямая, а

{m; n; p} –

130

Источник: https://studfile.net/preview/16563650/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога