Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М

направляющий вектор прямой. У нас прямая проходит через точку A , поэтому x0 = 5, y0 = 5, z0 = 5 . Направляющий вектор S параллелен прямой, поэтому S перпендикулярен плоскости 5x − y −10z −3 = 0 . Из уравнения плоскости виден ее нормальный вектор N {5; −1; −10}, который перпендикулярен плоскости.

Этот вектор N можно взять в качестве направляющего вектора S искомой прямой – S {5; −1; −10}, т.е. m = 5, n = −1, p = −10 . Подставив найденные значения x0 , y0 , z0 , m, n, p в канонические уравнения (3.33), получим

x 5−5 = y−−15 = z−−105 ,

что соответствует третьему ответу.

Решение. Направление прямой определяется ее направляющим вектором S {m; n; p}, координаты которого видны из канонических уравнений прямой.

Поэтому предлагаемые варианты ответов, связанные с направлением прямой, проверяются с помощью условий параллельности векторов (пропорциональность их координат) или перпендикулярности векторов (равенство нулю их скалярного произведения). Проверим предлагаемые варианты ответов для каждой прямой.

131

Таким образом, первый ответ не подходит.

Направляющий вектор оси Ox равен Sox {1; 0; 0}. Поэтому во втором варианте ответов имеем:

S Sox = 2 1 +(−3) 0 +(−1) 0 = 2 ≠ 0 S Sox .

Второй ответ тоже не подходит. Для третьего варианта имеем:

S a = 2 2 +(−3) 3 +(−1) (2)= −3 ≠ 0 S a .

Третий ответ не подходит.

В четвертом варианте подставим координаты точки M0 (−1; 2; −3) в

уравнения прямой:

−12−1 ≠ 2−+32 ≠ −3−−1 3 .

Четвертый ответ не подходит.

В пятом варианте проверим коллинеарность S и Sox {1; 0; 0}:

Пятый ответ также не верен.

В шестом варианте подставим координаты точки M0 (1; −2; 3) в уравнения прямой:

т.е. точка M0 (1; −2; 3) лежит на прямой. Следовательно, первой прямой соответствует шестой ответ.

2. x +0 4 = 2y = z−−38 , ее направляющий вектор S {0; 2; −3}.

Проверим первый вариант ответов:

Первый ответ не подходит. Проверим второй вариант ответов:

S Sox = 0 1 + 2 0 −3 0 = 0 S Sox ,

т.е. вторая прямая перпендикулярна оси Ox , что соответствует второму ответу.

132

Проверим только те ответы, которые не соответствовали первым трем прямым. Начнем с третьего ответа:

S a = 5 2 +(−2) 3 + 2 (−2)= 0 S a = (2; 3; − 2),

т.е. четвертая прямая перпендикулярна вектору a = (2; 3; − 2), что соответствует третьему ответу.

Тестовое задание 3.77

Решение. Прямая не пересекает плоскость, если прямая и плоскость параллельны. Из условия параллельности прямой и плоскости (3.39) не должно выполняться равенство

A m + B n +C p = 0 ,

где N {A; B; C} – нормальный вектор плоскости, а S {m; n; p} – направляющий вектор прямой. Из канонических уравнений (3.33) данной прямой видно, что S {−2; 4; 2}, а из уравнения плоскости – что N {−1; 1; −α}. Поэтому не должно выполняться равенство

(−1) (−2)+1 4 +(−α) 2 = 0 2α = 6 α = 3.

Итак, чтобы прямая пересекала плоскость, необходимо, чтобы α не было равно 3, что соответствует четвертому ответу.

133

Решение. Воспользуемся условием параллельности прямой и плоскости

(3.39)

A m + B n +C p = 0 ,

где N{A; B; C} – нормальный вектор плоскости, S{m; n; p} – направляющий

вектор прямой.

Данная прямая задана параметрически (3.34). В этих уравнениях коэффициенты при параметре t соответственно равны координатам направляющего

вектора S прямой. У нас дана прямая

x = 3 +t,y = −1 + 2t,

z = 4t,

поэтому S{1; 2; 4}.

Для каждой плоскости, предлагаемой в ответах, найдем нормальный век-

4 1 +(−2) 2 +(−2) 4 = −8 ≠ 0 .

134

3.2.7. Поверхности второго порядка (дифференциальная геометрия поверхностей)

Решение. Учитывая вид уравнения сферы (3.41) с центром в точке M0 (x0; y0; z0 ), делаем вывод, что искомое уравнение имеет вид

(x −(−5))2 +(y −3)2 +(z − 4)2 = R2 .

Раскрыв скобки, получим уравнение

x2 +10x + 25 + y2 −6 y +9 + z2 −8z +16 = R2

или

x2 +10x + y2 −6 y + z2 −8z +(50 − R2 )= 0 .

Сравнив полученное уравнение с предложенными ответами, видим, что оно совпадает с первым ответом при R = 2 и с третьим ответом при R = 4 , т.е. верные ответы первый и третий.

Решение. Сравнивая данное уравнения с (3.43) видим, что это уравнение задает эллипсоид ( a =10, b =8, c = 2 ), что соответствует третьему ответу.

135