Дипломная (вкр): Решение загадки премии по акциям в рамках двух подходов

3. Методология

В данном разделе описывается постановка загадки премии по акциям, которая использовалась в данном исследовании, а также более подробно раскрывается суть подходов с учетом привычки агента и редких катастроф.

3.1 Постановка загадки

загадка премия акция риск

В данной работе изучалась загадка премии по акциям в модели C-CAPM, так как статичные неоклассические модели не могут учесть поведенческие особенности агента, такие как его отношение к риску в зависимости от горизонта планирования и уровня неприятия риска. Эти особенности влияют на величину премии за риск, которую требует агент. Известно, что инвестор воспринимает снижение котировок вдвое более болезненно, чем их рост на аналогичную величину (Солодухина, 2010). Следовательно, агент склонен переоценивать активы, которыми владеет, вследствие чего требует более высокую премию за риск. Такое объяснение причин появления исследуемой аномалии кажется авторам наиболее правдоподобным, чем и обусловлен выбор модели.

Вообще Consumption-CAPM (C-CAPM) - это двухпериодная модель со стохастическим дисконтирующим фактором, где ставка дисконтирования зависит от прироста потребления. Эта модель основывается на проблеме межвременного выбора агента и предположении о том, что он максимизирует свою полезность:

(4)

где:

 - временной дисконт фактор;

 - потребление агента в момент ;

функция полезности задается следующим образом: - коэффициент риск-аверсии.

Репрезентативный агент максимизирует свою полезность в момент времени t, которая зависит от его потребления в момент . Функция полезности постоянна по коэффициенту риск-аверсии (CRRA). Также, если  в функции полезности стремиться к 1, то полезность будет равна логарифму потребления.

Оптимальное потребление агента можно описать с помощью одного из условий первого порядка - уравнения Эйлера:

 (5)

где:

 - предельная полезность потребления на один дополнительный доллар в момент времени ;

 - предельная полезность инвестирования актива i в момент времени , с учетом его продажи в момент  по цене .

Данное уравнение позволяет сгладить потребление во времени, покупая активы в "хорошие" времена, т.е. сберегая, и, продавая их в "плохие", т.е. потребляя. Так, предельная полезность расходов в период t равна предельной полезности доходов в период t+1, что является оптимальным для агента. Активы, доходность которых негативно связанна с потреблением, дает "страховку" на трудные времена. Поэтому такие активы будут привлекательны для людей, даже если их ожидаемая доходность низка. Таким образом, систематический риск актива определяется ковариацией доходности по акциям и потреблением, а не доходностью по рынку, как в стандартной модели CAPM (Cuthberton, Nitzsche, 2005).

Если разделить обе части уравнения (5) на , то получим уравнение, описывающее C-CAPM:

 (6)

где:

Стохастический дисконт фактор (СДФ) - это ядро логарифмического ценообразования или предельная норма замещения текущего потребления будущим. Данная норма зависит от предпочтений агента о распределении потребления во времени. Из-за того, что агент не располагает достоверной информацией о будущих ценах и доходностях активов, которые определяются случайным образом, то и его потребление будет случайной величиной.

Возьмем производную от функции полезности из уравнения (4): , а затем подставим ее в уравнение (6), то получим:

 (7)

Наилучший способ оценить коэффициент неприятия риска и протестировать ограничения, которые появляются в модели с введением условия (7), - это предположить, что доходность по акциям и совокупное потребления имеют логнормальное распределение и гомоскедастичны.

Следовательно, исходя из первого предположения, уравнение (7) нужно прологарифмировать, а учитывая второе предположение, логарифм премии за риск любого актива по реальной безрисковой ставке является константой. Безрисковая реальная ставка линейна по потреблению. Тогда доходность по какому-либо другому активу будет также линейна по потреблению. Отсюда имеем:

 (8)

где:  - ковариация доходности акций с приростом потребления;

 - ковариация премии за риск с приростом потребления.

Из уравнения (8) мы находим коэффициент риск-аверсии .

Таким образом, постановка загадки была подробно представлена на основе расчетов Кэмпбелла, Ло и Маккинли для наилучшего понимания используемой в исследовании модели (Campbell, et al., 1997).

3.2 Подход с учетом привычки агента

В данной работе для решения загадки премии по акциям применялся подход с учетом привычки агента как наиболее популярный метод в научной литературе.

Привычка задавалась как потребление по отношению к предыдущему "эталонному" уровню потребления. Это предположение является логичным с той точки зрения, что агенты стремятся сгладить свое потребление. Они боятся, что может возникнуть ситуация, когда им придется резко сократить потребление по отношению к какому-то прошлому периоду.

Степенная функция полезности для модели будет выглядеть как уравнение (3), где  - это уровень внешне заданной привычки агента. Его предельная полезность может быть выражена как:

 (9)

где:  - соотношение излишка потребления.

Тогда межвременная норма предельного замещения будет определена следующим образом:

 (10)

где:  - межвременной дисконтирующий фактор;

 - коэффициент риск-аверсии.

Теперь, исходя из уравнения (10) могут быть найдены моменты для предельной нормы замещения с помощью метода GMM (Campbell, Cochrane, 1999). Суть метода заключается в том, что для оценки параметров модели вместо математических ожиданий рассчитываются моменты. Затем минимизируется матрица, в которой используются полученные моменты. Причина использования метода в данной работе заключается в том, что он позволяет использовать структурную форму модели. Кроме того, метод разрешает использовать больше ограничений, чем оцениваемых параметров. Поэтому, при его использовании важно проводить тест на сверхидентифицированность (J-тест), т.к. из-за сверхидентифицированности модели могут быть получены неоднозначные оценки коэффициентов. Если значение Хи-квадрат статистики на заданном уровне значимости больше полученной J-статистики, то модель принимается.

Если говорить более подробно, то для применения обобщенного метода моментов сначала подбираются моментные условия для оценки параметров. Большим плюсом данного метода является необязательность выполнения предпосылок о нормальности распределения, гомоскедастичности и отсутствии автокорреляции остатков, однако должно выполняться условие об одинаковости математических ожиданий случайных величин. Здесь следует вспомнить, что математическое ожидание случайной величины называется моментом первого порядка, а ее выборочным моментом называется выборочное среднее. Так, для функции g(x) момент (теоретический) и выборочный момент будут соответственно:

 (11)

где:

 - количество наблюдений;

 - случайные величины.

Обычно функция g(x) зависит от параметров , где k -количество оцениваемых параметров, следовательно, моменты также будут зависеть от параметров. Следует отметить, что если k меньше количества моментных условий, то система одновременных уравнений не разрешима, если k больше их, то система называется сверхидентифицированной, когда количество параметров равно количеству моментных условий, то система называется идентифицированной.

Далее теоретические моменты приравниваются к выборочным, то есть к эмпирическим. В общем случае для линейной регрессии вида  или в векторном виде , где матрица  имеет размерность (n×1), матрица Х - (n×k), а матрица  - (k×1), моментные условия можно записать как , где Т - символ транспонирования. При условии, что матрица  - невырожденная, решением уравнения будет  (Слуцкин, 2007).

Учитывая, что в данной работе использовалась сверхидентифицированная система, которая обычно не имеет решения, то следующим шагом в качестве оценки , полученной обобщенным методом моментов, используется вектор моментных условий, наиболее приближенный к нулю для минимизации квадратичной формы (Гельман, Шпренгер, 2014). Тогда оценка  будет выглядеть следующим образом:

 (12)

где:

 - произвольная симметричная положительно определенная матрица порядка n (матрица весов);

 - матрица, зависящая от эндогенных и инструментальных переменных.

Полученные оценки будут состоятельными, но неэффективными, так как количество оцениваемых параметров меньше чем количество условий. Для получения асимптотически эффективных оценок сначала находится гетероскедастичные автокорреляционные состоятельные (ГАС) оценки с помощью процедур Хансена-Уайта (Hansen-White estimator), Ньюи-Уэста (Newey-West estimator) или других (Слуцкин, 2007), а затем подставляется в уравнение (12), которое переоценивается. Данная процедура продолжается до конвергенции (Гельман, Шпренгер, 2014).

Для модели C-CAPM оценивается уравнение Эйлера в качестве условия первого порядка, которое может быть записано как:

 (13)

где:

 - вектор инструментальных переменных (IV);

Левую часть уравнения (13) можно также назвать случайным членом , условное среднее которого равно нулю.

Затем минимизируется квадратичная форма q путем нахождения таких оценок, которые приближают вектор выборочных условий ортогональности к нулю:

 (14)

где:

 - вектор выборочных условий ортогональности; ;

Т - количество периодов времени;

 - положительно определенная матрица весов.

От матрицы весов зависит эффективность оценок, поэтому для получения наилучших результатов необходимо найти оптимальную матрицу. Также оптимальная матрица весов должна давать наименьшую асимптотическую ковариационную матрицу. Такая матрица весов равна обратной ковариационной матрице выборочных моментов:  (Verbeek, 2008).

В нашей работе будут рассчитываться одношаговый и итеративный GMM. Оба метода имеют одинаковые асимптотические свойства, однако считается, что итеративный метод лучше работает на малых выборках, что важно для нашей работы, т.к. данные по российскому фондовому рынку доступны только за 18 лет.

3.3 Подход редких катастроф

Другим известным методом решения загадки премии по акциям является подход редких катастроф. В данной работе этот подход применялся на основе статьи R. Barro "Rare Events and the Equity Premium".

В статье в отличие от модели, приведенной в постановке загадки, используется валовый уровень доходности актива, который задается как:

 (15)

где:

 - выпуск в периоде ;

 - цена рискового актива в периоде .

В модели предполагается, что весь выпуск идет на потребление, следовательно, если в функции полезности из уравнения (4) С заменить на А и подставить в уравнение (5), а также доходность заменить на валовую из уравнения то получим:

 (16)

отсюда

 (17)

Также в статье было сделано предположение о том, что логарифм выпуска описывается как случайное блуждание с дрифтом.

 (18)

где: