Дипломная (вкр): Решение загадки премии по акциям в рамках двух подходов

 - среднее значение шага (дрифт);

 - случайный член с нормальным распределением;

 - маловероятная катастрофа первого типа;

 - маловероятная катастрофа второго типа.

Предполагается, что катастрофы и случайный член не зависят друг от друга. Вероятность того, что случится катастрофа типа  равна . Если такая катастрофа произойдет, то реальный ВВП на душу населения в экономике снизится на величину b. Вероятность наступления катастрофы мала, но последствия ее наступления довольно тяжелы. Однако после катастрофы типа w, вероятность которой , наступает "конец света", поэтому после такой катастрофы мир продолжает существовать с вероятностью . Тогда, при условии, что конец света не наступит, цена актива, ожидаемая доходность рискового актива и доходность безрискового будут задаваться следующим образом:

 (19)

 (20)

 (21)

Уравнения (20) и (21) были рассчитаны с учетом предположения о том, что "конца света" не наступит. Кроме того, данные выражения удобно представить в виде логарифмов:

 (22)

 (23)

Если также предположить, что вероятность наступления катастрофы первого типа очень мала и найти разницу между логарифмами доходностей рискового и безрискового актива, то получим:

 (24)

Следует заметить, что разница логарифмов не зависит от вероятности катастроф второго типа и возрастает при увеличении вероятности катастроф первого типа.

Для анализа данного подхода сначала были оценены параметры при условии, что вероятности наступления обоих типов катастроф равны нулю. Затем было выдвинуто предположение о том, что наступление катастрофы первого типа возможно, а вероятность наступления катастрофы второго типа все так же равно нулю. После этого нами снова были найдены параметры при изменении значения .

4. Анализ данных и результаты исследования

Для проведения данного исследования были взяты рынки США и России как примеры развитой и развивающейся стран. Фондовый рынок США является одним из старейших в мире, по которому доступно большое количество наблюдений. Рынок России, напротив, является очень молодым и насчитывает порядка 20 лет. Именно поэтому было интересно провести сравнение двух настолько различающихся рынков и понять наблюдаются ли на них аналогичные тенденции и присущи ли им одинаковые проблемы, в частности, загадка премии по акциям.

В работе были изучены годовые данные по потреблению товаров недлительного пользования и услуг, доходности рынка и безрисковой ставке для США за 1927-2014 гг. (Federal Reserve bank of St. Louis) и для России за 1996-2014 гг. (Росстат, ММВБ). Также, исходя из того, что обобщенный метод моментов более эффективен для больших выборок, были собраны месячные данные по США за 03.1959-07.2015 по десяти портфелям ценных бумаг. Портфели были отранжированы по размеру так, что первый портфель отражает данные по 10% самым маленьким компаниям, а десятый портфель - по 10% самым крупным, зарегистрированным на NYSE.

Для США в качестве безрисковой ставки были взяты доходности по 3-х месячным T-Bill. Потребление представлено агрегированными индивидуальными расходами населения на потребление товаров недлительного пользования и услуги.

Следует отметить, что на Росстате в отличие от FRED нет четко выделенной категории потребления товаров недлительного пользования, поэтому для Росси брался показатель прироста реального располагаемого дохода на душу населения в течение года. Затем потребление для России умножалось на отношение товаров недлительного пользования к располагаемому доходу, который рассчитывался на основе структуры затрат россиян в соответствующем году. В качестве рыночной доходности был взят индекс РТС в долларовом выражении с 1995 по 2014 гг., который затем корректировался на валютный курс.

Однако наиболее сложной задачей был выбор безрисковой ставки для России. Обычно используют облигации государственного займа, доходность которых покрывает инфляцию, тем не менее, в России такие облигации впервые появились только в 2015 году. Поэтому, в данной работе в качестве безрисковой ставки было взято потребление товаров длительного пользования как наиболее надежный способ вложения средств при отсутствии действительно безрисковых отечественных активов и доступа к зарубежным активам (до 1992 года). Ожидаемая доходность товаров длительного пользования равна нулю, при условии отсутствия затрат на хранение и выбытие.

Далее все показатели были продефлированы по индексу потребительских цен (CPI Index), т.к. агента интересует реальное потребление и, следовательно, реальные доходы. Графическое представление данных приводится ниже:

Рис. 1. Изменение прироста потребления в США за 1927-2014 гг.

Рис. 2. Изменение доходности безрискового актива в США за 1927-2014 гг.

Рис. 3. Изменение доходности рынка США за 1927-2014 гг.

Исходя из выше представленных графиков можно заметить, что показатели движутся разнонаправлено. Так, во время Великой депрессии изменение потребления и доходность рынка резко упали и были отрицательными величинами, однако доходность безрискового актива была положительна. Тем не менее, во время Второй мировой войны доходность облигаций была отрицательна, прирост потребления исключительно положительным, а доходность рынка опускалась ниже нуля только в 1940 и 1941 годах. Тем не менее, все показатели были отрицательными во время кризиса 2008-2009 гг. Поэтому, основываясь на Графиках 1-3 нельзя однозначно описать тенденции взаимного изменения переменных во времена кризисов.

Рис. 4. Изменение прироста потребления в России за 1990-2014 гг.

Рис. 5. Изменение доходности рынка в России за 1996-2014гг.

Не смотря на то, что данных по российскому рынку гораздо меньше, чем по рынку США, можно наблюдать наличие некоторых тенденций. Так, во времена масштабных кризисов, таких как кризис 1998 и 2008 гг., изменение потребления и доходность рынка сонаправлено движутся вниз.

По российским данным также можно заметить негативную динамику в 2008-2009 годах, однако в США рынок просел на 48, 8%, а в России на 129%. При этом потребление в США по сравнению с предыдущим годом почти не изменилось в 2008 и снизилось на 1, 81% в 2009, а в России упало на 4, 85% в 2009 году. Таким образом, можно сделать вывод о том, что чувствительности российской и американской экономики к кризисам находятся на сопоставимом уровне, тем не менее сами кризисы ощущаются в России больнее. Так, при падении рынка в России в 2, 6 раза большем, чем в США, потребление упало в 2, 7 раза сильнее.

Далее были посчитаны моменты для логарифмов реальных значений потребления, доходностей рисковых и безрисковых активов.

Таблица 2. Статистические показатели потребления и доходностей активов в США на годовых данных

Из Таблицы 3 видно, что рыночная премия, т.е. то, на сколько доходность по акциям превышала доходность безрискового актива, составляет 6, 02% при стандартном отклонении равном 20, 07%. Следует обратить внимание на то, что ковариация доходности по акциям и рыночной премии с потреблением составляет 0, 25% и 0, 28% соответственно при корреляции с потреблением более 0, 6. Это может быть объяснено небольшим стандартным отклонением потребления.

При подставлении значений из Таблицы 3 в уравнение (8), получим, что коэффициент неприятия риска равен 21, 74, что значительно больше максимального допустимого значения для этого коэффициента - 10 (Mehra, Prescott, 1985).

Аналогично моменты были рассчитаны для российских данных за 1996-2014 гг. (см. Таблица 4). Также напомним, что для российских данных доходность безрискового актива была принята равной нулю. Следовательно, премия за риск равна доходности по акциям.

Таблица 3. Статистические показатели потребления и доходностей активов в России на годовых данных

Кроме того, можно заметить, что средние показатели и ковариация с потреблением по российским данным выше, чем по США, однако и стандартные отклонения также заметно выше. Вообще стандартное отклонение может быть ассоциировано с риском и неопределенностью, таким образом, можно сделать вывод о том, что российские акции примерно в три раза более рискованные, чем американские, а большая волатильность прироста потребления россиян свидетельствует о более нестабильной экономической ситуации в России.

После того как данные моментные условия были подставлены в уравнение (8), было обнаружено, что коэффициент риск-аверсии составляет 4, 66. Таким образом, можно сделать вывод о том, что на российских данных отсутствует загадка премии по акциям вопреки предположениям о том, что акции являются слишком рискованным вложением для россиян. Тем не менее, нельзя исключать возможности неточных результатов из-за малого количества наблюдений.

Кроме того, коэффициент риск-аверсии был рассчитан с помощью статистического пакета Getl (Таблица 4). Это позволит сравнить результаты до и после введения привычки агента в модель, а также отличие результатов, полученных методом GMM с помощью статистического пакета от расчетов вручную в программе Excel.

Таблица 4. Расчет коэффициента риск-аверсии обобщенным методом моментов

Основываясь на результатах, представленных в Таблице 4, можно сделать вывод о том, что для всех рынков одношаговый и итерационный ОММ дали примерно одинаковые приемлемые значения межвременного дисконтирующего фактора на уровне 0, 8. Это означает, что в экономике деньги сегодня стоят дороже, чем завтра, поэтому агенты предпочитают текущее потребление будущему. Тем не менее, значения коэффициента риск-аверсии заметно различаются. На годовых данных как по России, так и по США и одношаговый, и итерационный обобщенный методы моментов дали отрицательные значения. Данные результаты достаточно необычны, так как в литературе по данной тематике предполагается, что данный показатель должен быть больше нуля. Поэтому, данные результаты можно считать ошибочными по причине слабой объясняющей способности обобщенного метода моментов на малых выборках - 88 наблюдений для США и 19 для России. Тем не менее, отрицательное значение коэффициента неприятия риска можно попытаться объяснить как склонность агентов к риску, эйфорию инвесторов, когда они готовы делать рискованные вложения. Однако если принять отрицательное значение коэффициента и найти из уравнения (8) премию за риск, то она получится также отрицательной. Это означает, что агенты в экономике согласны идти на риск, не получая за это никакой платы. Такая ситуация может возникнуть при недооценивании риска инвесторами, что обычно приводит к появлению пузырей на финансовых рынках.

Наиболее показательными являются месячные результаты по США. Коэффициент риск-аверсии получился положительным и значительно превышающим 10, что сопоставимо с расчетами вручную, когда данный показатель был равен 36, 66. Кроме того, данные результаты свидетельствуют о наличии загадки.

Коэффициент неприятия риска показывает какую надбавку сверх доходности безрискового актива хочет агент, приобретая рисковый актив. Слишком большое значение коэффициента риск-аверсии на месячных данных по США может быть объяснено тем, что рисковые активы сильнее коррелируют с потреблением, чем безрисковые. Однако, как было ранее упомянуто, агенты предпочитают активы, которые имеют обратную зависимость с потреблением, т.к. они позволяют не снижать потребление в моменты экономического спада. Следовательно, рисковые активы не выполняют роли "страховки" в трудные времена, из-за чего агенты хотят получать по ним большую доходность.

Тем не менее, если предположить, что такое большое значение коэффициента риск-аверсии приемлемо, то возникает другая проблема - слишком маленькое значение наблюдаемой безрисковой ставки. При высоком значении коэффициента неприятия риска безрисковая ставка, получаемая из C-CAPM, гораздо больше, чем та, что получена по безрисковым активам.

Для проверки данной загадки рассчитаем безрисковую ставку, применяя следующую формулу:

 (25)

где:  - безрисковая ставка в момент времени t;