Материал: Ряды Фурье. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н

Пример №3. Разложить в ряд Фурье периодическую функция f(x) с периодом 2π, определенную следующим образом (рис. 1.3):

f (x) = x, - π < x ≤ π,

Рис. 1.3.

Решение. Функция f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье и является нечетной функцией, поэтому ее ряд Фурье будет содержать только синусы, то есть

α0=0, αn=0.

Интегрируя по частям, вычислим коэффициенты:

Это равенство имеет место лишь в точках непрерывности функции f(x). В точках разрыва x = kπ, где k – любое нечетное число, сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т.е. нулю. Действительно, для k = 1

15

lim f (x) = f (π −0) =π

x→π−0

lim f (x) = f (π + 0) =π ,

x→π +0

f (π −0) + f (π + 0) = 0. 2

Аналогично и в остальных точках разрыва.

2. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ЛЮБЫМ

ПЕРИОДОМ.

2.1.1. Ряды Фурье для функций с любым периодом

Пусть f(x) – периодическая функция произвольного периода Т = 2l (l – полупериод), кусочно-монотонная или кусочно-гладкая на отрезке [ -l, l ]. Полагая х = αt, получим функцию f(αt) аргумента t, период которой равен 2l / α.

Подберем α так, чтобы период функции f(αt) был равен

2π, т.е.

αT = 2αl = 2π, откуда α = πl .

Тогда подстановка x = πl t (сжатие или растяжение по оси ОХ) приводит к функции

f πlt периода 2π.

Эта функция удовлетворяет условию разложимости в ряд Фурье, так как она кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке [ -π; π]. (Нетрудно заметить, что отрезку [ -l, l ] значения х соответствует отрезок [ -π; π] значений t).

16

Определение. Рядом Фурье функции f(x) произвольного периода Т = 2l, интегрируемой на отрезке [-l, l], называется тригонометрический ряд типа

коэффициенты которого определяются равенствами

17

Если f(x) – функция периода T=2l кусочно-монотонная или кусочно-гладкая на отрезке [ -l, l ], то она разлагается в ряд Фурье, т.е. равенство (2.3) справедливо во всех точках непрерывности функции f(x).

В точках х0 разрыва функции f(x) сумма ряда (2.3’) равна

f (x0 −0)+ f (x0 + 0). 2

2.1.2. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с любым периодом.

1. Пусть f(x) – четная, кусочно-монотонная или кусочногладкая периодическая с Т = 2l функция, тогда ее можно разложить в ряд Фурье. По свойству интеграла, по симметричному относительно х = 0 интервалу, получим bn = 0, а также

Таким образом, ряд Фурье четной функции f(x) периода Т = 2l запишется в виде:

при этом коэффициенты ряда определяются равенствами (2.5).

18

2. Пусть f(x) – нечетная кусочно-монотонная или кусочногладкая периодическая с Т = 2l функция, тогда по свойству интеграла, по симметричному относительно х = 0 интервалу, получим α0 =0 αn = 0, а также

Таким образом, ряд Фурье нечетной функции f(x) периода Т = 2l запишется в виде

при этом коэффициенты ряда определяются равенством (2.7).

Пример № 4. Разложить функцию f (x) = Ax , − 2 < x ≤ 2

периода Т = 2l = 4 в ряд Фурье (рис. 2.1).

Рис. 2.1.

Решение. Данная функция удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому на основании равенств

(2.3) и (2.4) имеем:

где

19