Материал: Ряды Фурье. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н

3. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на интервале ( α, b ). Прежде чем рассматривать этот вопрос, сделаем следующее утверждение.

Утверждение. Интеграл от периодической функции f(x) по любому отрезку, длина которого равна периоду T = 2l, имеет всегда одно и то же значение, т.е.

где α – любое вещественное число.

Действительно, основываясь на геометрическом смысле определенного интеграла, справедливость формулы (2.18) легко проиллюстрировать: площади, заштрихованные на рисунке 2.5., равны между собой.

Рис. 2.5.

Замечание. Из данного утверждения следует, что при вычислении коэффициента Фурье, мы можем заменить промежуток интегрирования [ -l, l ], любым промежутком [ α, α + 2l ], длина которого равна T = 2l, то есть положить

Пусть теперь на некотором интервале (α, b) задана непериодическая функция f(x), удовлетворяющая условиям

25

разложимости в ряд Фурье. Введем в рассмотрение вспомогательную периодическую функцию φ(х) с периодом Т = b – α = 2l, совпадающую с функцией f(x) на интервале (α, b)

(рис. 2.6)

Рис. 2.6.

Разложим периодическую функцию φ(х) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках интервала (α, b) (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f(x), то есть ием самым имеем разложение функции f(x) в ряд Фурье на

(n = 1,2,…).

Замечание. Полагая в формулах (2.21) – (2.23) α = 0 и b = l, можно получить еще одно представление в виде полного ряда Фурье непериодической функции f(x), заданной на интервале (0, l):

26

(n = 1,2,…).

Замечание. Полагая l = π, из формул (2.9) – (2.26) легко получить соответствующие результаты для частного случая непериодических функций, заданных на интервале (-π, π), (0, π) и (α, α+2π).

Пример № 6. Разложить в ряд Фурье функцию f(x), определенную следующим образом

0, при π < x ≤ 2π f (x) =

1, при 2π < x < 3π

Решение. Здесь функция f(x) задана на интервале (α, b) длиной 2π. Периодически продолжим заданную функцию на всю числовую ось, получим периодическую функцию периода

2π (рис. 2.7).

Рис. 2.7.

27

Полагая в формулах (2.22) – (2.23) α = π, b = 3π, l = π, вычислим коэффициент Фурье данной функции:

В точке разрыва x = 2π полученный ряд будет сходиться к среднему арифметическому предельных значений функции

f(x) справа и слева, т.е. к числу 12 .

Пример № 7. Разложить функцию f(x) = 1 , заданную в интервале 0 < x <1, в ряд по синусам.

Решение. Для разложения функции f(x) в ряд по синусам надо ее продолжить на интервал –1 < x < 0 нечетным образом, а затем продолжить полученную функцию периодически на всю числовую ось (рис. 2.8).

Рис. 2.8.

28

Для решения задачи нам необходимо воспользоваться формулами (2.16) и (2.17), где надо принять l = 1, f(x) = 1. Тогда

заданную в интервале 0 < x <2, в ряд по косинусам.

Решение. Для разложения данной функции f(x) в ряд по косинусам надо ее продолжить на интервал –2 < x < 0 четным образом, а затем продолжить полученную функцию периодически на всю числовую ось (рис. 2.9).

Рис. 2.9.

29