Материал: Ряды Фурье. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Для решения задачи нам необходимо воспользоваться формулами (2.14) и (2.15), где надо принять l = 2,

														f (x) = x −																		x2					.
Тогда														f (x) = x −																			2				.
																																	2

			2 l																2								1 2																		x2					1 3						2		2
			2 l																2								1 2																		x2					1 3						2		2
α0	=			∫ f (x)dx = ∫(x −																									x )dx =																			−				x					=		;

			l																								2																				2			6						0		3
			l	0															0								2																				2			6						0		3
αn	=		2	∫l			f (x) cos									nπx						dx = ∫2											(x −									1		x2 ) cos							nπx			dx.
αn	=		l	∫l			f (x) cos															dx = ∫2											(x −							2				x2 ) cos										dx.
			l	0															2											0										2												2
Интегрируем по частям:																																									nπx
												1					2																								nπx
			u = x							−				x					,							dv = cos																					dx,
			u = x							−				x					,							dv = cos																					dx,
												2																							2								2nπx
			du = (1 − x)dx,																								v =												sin										,
			du = (1 − x)dx,																								v =							nπ					sin								2		,
																																		nπ													2
			2								1				2										nπx						2									2 2						(1 − x)sin								nπx				dx =.
			2								1				2										nπx						2									2 2														nπx
αn =							x −						x					sin													0				−
αn =			nπ				x −				2		x					sin												2					−																				2
			nπ								2																			2								nπ ∫0																	2
		= −				2			∫2	(1 − x)sin														nπx					dx.
		= −			nπ				∫2	(1 − x)sin																			dx.
					nπ			0																		2
Еще раз интегрируем по частям:
																											nπx
u =1 − x,													dv = sin																					dx,
u =1 − x,													dv = sin																					dx,
																					2							2nπx
du = −dx,											v = −															cos												,
du = −dx,											v = −									nπ						cos							2					,
																				nπ													2
αn	=			4				(1		− x)cos											nπx							2		+							4								2	cos			nπx				dx =.
																																													2

			n2π2																				2					0							n2π2 ∫0															2
			n2π2																				2					0							n2π2 ∫0															2
= −			4				cos nπ −													4							= −									4							[1 + (−1)n ].
= −			2		2		cos nπ −													2			2				= −					n				2			2				[1 + (−1)n ].
		n π																n			π											n					π

Итак,

∞

+ (−

nπx

f (x) =

−

∑

cos

π n =1

8 1

−

cosπx +

cos 2πx +

cos3πx +... .

π2 22

Пример № 9. Разложить в ряд Фурье функцию f(x),

определенную следующим образом

0, - 2 < x ≤0,

f (x) =

x, 0 < x < 2,

Решение. Здесь функция задана на интервале ( - l,

l ), где

l =2. Периодически продолжив заданную функцию на всю числовую ось, получим периодическую функцию периода

T = 2l = 4, рис. (2.10).

Рис. 2.10.

Для решения задачи воспользуемся формулами (2.10’) - (2.11’), положив в них l =2. Тогда

		1 2							1	0			1		2			1 x2		2
α0	=				f (x)dx =						0dx +					xdx =					=1;
α0	=	2 −∫2			f (x)dx =				2		0dx +		2 ∫0			xdx =		2 2		0	=1;
		2 −∫2							2	−∫2			2 ∫0					2 2		0
		1	2					nπx				1		0			nπx
αn	=		∫		f (x)cos						dx =			∫0cos					dx +
αn	=	2	∫		f (x)cos				2		dx =	2		∫0cos				2	dx +
		2	−2						2			2		−2				2
2				nπx					1	2		nπx
+ ∫xcos						dx	=			∫x cos						dx =
+ ∫xcos					2	dx	=		2	∫x cos				2		dx =
0					2				2	0				2

																															nπx
u = x,																	dv = cos																					,
u = x,																	dv = cos																2					,
																			2														2
																			2												nπx
du = dx,														v =											sin													,
du = dx,														v =					nπ						sin								2					,
																			nπ														2
	1						2									nπx						2								2					2							nπx
	1						2									nπx						2								2					2							nπx
=											xsin											0			−										∫sin										dx		=
=	2				nπ						xsin				2										−				nπ						∫sin								2		dx		=
	2				nπ										2														nπ						0								2
	1						4								nπx						2								1						4
=	1						4					cos			nπx						2			=					1						4				(cos nπ −cos0) =

				2						2					2						0													2				2
	2 n						π								2						0								2 n						π
=		2							[(−1)n −1].
=	n		π				2		[(−1)n −1].
		2					2
Итак,								2						[(−1)n −1], (n = 1, 2, …).
αn =								2
αn =						n			π			2
								2				2
Здесь учтено, что cos nπ = (−1)n .
Далее
				1				2												nπx																1				0						2			nπx
bn =								∫ f					(x)sin														dx =													∫0dx + ∫xsin										dx	=
bn =								∫ f					(x)sin								2						dx =									2				∫0dx + ∫xsin									2	dx	=
				2 −2																	2															2		−2								0			2
	1	2											nπx
=	1		∫x sin										nπx				dx =
=			∫x sin														dx =
	2	0											2
																														nπx
u = x,																	dv = sin																				dx,
u = x,																	dv = sin															2					dx,
																							2									2
																							2											nπx
du = dx,														v = −														cos												,
du = dx,														v = −								nπ						cos								2				,
																						nπ														2
	1									2								nπx								2								2				2						nπx
	1									2								nπx								2								2				2						nπx
=			−											x cos												0			+									∫cos								dx		=
=	2		−					nπ						x cos					2										+			nπ						∫cos							2	dx		=
	2							nπ											2													nπ						0							2

	1									2				2cos nπ																4											nπx				2
	1									2																				4											nπx				2
=			−																				+													sin										,
=			−																				+				n2π							2		sin										,
	2							nπ																										2							2				0
	2							nπ																																	2				0

bn = − n2π (−1)n .

Подставляя найденные значения коэффициентов α0, αn, bn в ряд (2.10’) и учитывая, что l = 2, получим

∞

−1

nπx

∞

sin

nπx

f (x) =

∑

(−1)

cos

−

∑(−1)n

n=1

или в развернутом виде

πx

3πx

5πx

cos

+...

f (x) =

−

πx

2πx

3πx

4πx

sin

−

sin

−

sin

+... .

2.2. Ряд Фурье в комплексной форме. Спектральный анализ периодических функций.

2.2.1. Ряд Фурье в комплексной форме.

Для периодической функции f(x) с периодом T = 2π ее разложение в ряд Фурье имеет вид

f (x) = α0 + ∑∞ (αn cos nx +bn sin nx), (2.27) 2 n=1

где

		1	π	f (x)cos nxdx
			π
αn	=				(n = 0,1,2...),
αn	=	π −∫π			(n = 0,1,2...),
		π −∫π				(2.28)
		1	π			(2.28)
		1	∫
bn	=	π −π		f (x)sin nxdx	(n = 0,1,2...).
		π −π

В приложениях часто пользуются другой, более компактной формой записи функции f(x) в виде ряда Фурье, называемого комплексной формой Фурье. Получить эту новую форму помогают известные тождества Эйлера, устанавливающие связь между тригонометрическими функциями и показательными функциями:

Aiα

= cosα +i sinα;

A−iα

= cosα −i sinα.

Отсюда

Aiα + A−iα

Aiα −A−iα

cosα =

;

sinα

С помощью последних формул можно преобразовать

общий член ряда (2.27):

cos nx =

Ainx +A−inx

;

sin nx =

Ainx

−A−inx

= i

A−inx −Ainx

Подставляя вместо cosnx и

sinnx

найденные для них

выражения в формулу (2.27), получим

−A

) =

f (x) = α0 + ∑(αn

inx

−inx

+ibn A

−inx

inx

∞

n=1

0 +

∞

−ib

+ib

∑

n Ainx +

n A−inx .

n=1

Из формул (2.28) вытекает, что если изменить знак n, то αn сохранит свой знак, а bn поменяет его на противоположный. Другими словами, αn – четная, а bn – нечетная функция относительно n:

αn = α−n ; bn = −b−n

Учитывая это, выражение для f(x) можно записать так:

f (x) =	α		∞	α		−ib	−∞	α		−ib
f (x) =		0	+ ∑		n	n Ainx + ∑			n	n Ainx =
	2		n=1			2	n=1			2

Источник: https://studfile.net/preview/16564480/

Смотрите также:






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr