Материал: Ряды Фурье. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

+∞	α	n	−ib
= ∑		n	n Ainx .
n=−∞			2

(n = 0, ± 1, ± 2, …).

При n = 0 f (x) = α20 . Обозначая Cn = αn −ibn , окончательно получаем

1 +∞

f (x) = 2 ∑CnAinx .

n=−∞

Коэффициент Cn легко найти, если учесть формулы (2.28) и формулу Эйлера:

Сn = αn −ibn =			1	π∫ f (x)cos nxdx −i					1	π∫ f (x)sin nxdx =
Сn = αn −ibn =			π	π∫ f (x)cos nxdx −i					π	π∫ f (x)sin nxdx =
				−π						−π
=	1	π∫ f (x)(cos nx −i sin nx)dx =					1	π∫ f (x)A−inxdx.
=	π	π∫ f (x)(cos nx −i sin nx)dx =					π	π∫ f (x)A−inxdx.
	π	−π					π	−π
		−π						−π
Таким образом, ряд Фурье в комплексной форме имеет
вид					1	∞
						∞
		f (x)		=		∑CnAinx ,		(2.29)
		f (x)		=		∑CnAinx ,		(2.29)
					2 n=−∞

где комплексный коэффициент (комплексная амплитуда) определяется по формуле

Сn = αn −ibn =			1	π∫ f (x)A−inxdx.	(2.30)
			π
				−π

Для действительной функции f(x) коэффициенты Cn и C-n
являются взаимно сопряженными комплексными числами:
Сn = αn −ibn ,			C−n = αn +ibn .
Замечание. Если f(x) – периодическая функция периода T
= 2l, которая удовлетворяет			условиям разложимости в			ряд
Фурье, то подстановка x =	l	t приводит к функции			lt
					f	с
	π				π

периодом 2π, разложимой в ряд Фурье. Для такой функции по формулам (2.29) и (2.30) имеем:

1 ∞

int

∑CnA

где

2 n=−∞

−int

∫

dt.

−π

Возвращаясь

к аргументу

х,

помощью соотношения

t =

πx получим ряд Фурье функции f(x)

периода T

= 2l в

комплексной форме:

nπ

+∞

f (x) =

∑CnAi

x ,

(2.31)

где

2 n=−∞

nπ

1 π

Сn =

∫f(x)A

−i

x dx =

∫f(x)A−i

xdx.

(2.32)

π l

−l

Замечание. Если прибегнуть к комплексной плоскости, то сказанное выше приобретает яркую геометрическую интерпретацию. Можно сказать, что ряд (2.29) содержит два бесконечных ряда сопряженных относительно оси действительных величин векторов, которые вращаются при изменении n в противоположные стороны. Геометрическая сумма каждой пары сопряженных векторов имеет только действительную составляющую αт (рис. 2.11).

Рис. 2.11.

В результате суммирования двух бесконечных рядов сопряженных векторов получается действительная функция f(x). Таким образом, n-й член (n-ая гармоника) ряда Фурье содержит два одинаковых компонента, равных проекции вращающихся сопряженных векторов на ось действительных величин. Амплитуда и фаза n-й гармоники выражается через αn и bn по формулам:

С	n	= α2	+b2	;	tgϕ	n	= αn .
	n	n	n			n	bn
Пример № 11.							bn
Пример № 11.		Разложить			в комплексный ряд Фурье

периодическую функцию f(x) с периодом 2π, определенную следующим образом:

f (x) = −x, (−π < x ≤ π).

Рис. 2.12

Решение. Проверив выполнение условий разложимости в ряд Фурье для функции f(x) (рис. 2.12), переходим к вычислению коэффициентов Фурье по формуле

Сn =

π∫ f (x)A−inxdx = −

xA−inxdx.

−π

Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства,

вычисляется по частям:

−inx

Сn = −

∫xA

dx =

−π

−

∫A

dx =

inπ

−π

inπ −π

=	1	(A−inπ + Ainπ )−	1	A−inx	π	=

	in		n2π2
					−π

= in1 2cos nπ − n21π2 (A−inπ + Ainπ )= in2 cos nπ.

2		,		еслиn - четное,


Cn = in		2		(n ≠ 0)
−			,	еслиn - нечетное,
	in

или

			2
	−				,	еслиn - четное,
	−		in		,	еслиn - четное,
Cn	=		in			(n ≠ 0)
		2		,		еслиn - нечетное,
				,		еслиn - нечетное,
	in

Если n = 0, то полученные формулы не дают результата. Поэтому коэффициент C0 надо вычислить отдельно:

С0

π∫ f (x)dx = −

π∫xdx = 0.

−π

Окончательно получим

− x

= ... =

A−4ix −

A−3ix +

A−2ix

−iA−ix +iAix −

A2ix +

A3ix −....

Это равенство имеет место лишь в точках непрерывности функции f(x). В точках разрыва t=kπ, где k – любое нечетное число, сумма ряда равна нулю.

2.2.2. Спектральный анализ периодических функций.

В физике и технике тригонометрические ряды играют важную роль в изучении периодических процессов, как, например, колебательное движение, распространение волн, сила и напряжение переменного тока и тому подобное.

Простейшей периодической функцией является функция вида

y = Asin(ωt +ϕ),

где A, ω и ϕ - постоянные, t - независимая переменная, которая в физике и технике истолковывается как время. Эту функцию называют гармоникой, так как она описывает простейшее колебательное движение, называемое гармоническим. Постоянную А > 0 называют амплитудой

колебания, ωt + ϕ - фазой колебания,			ϕ - начальной фазой, ω
- частотой колебания.
Легко показать, что гармоника имеет период
T =	2π	.
T =		.
Действительно,	ω
Действительно,
				2π
sin(ωt +ϕ) = sin(ωt +ϕ + 2π) = sin ω t +					+ϕ	=
sin(ωt +ϕ) = sin(ωt +ϕ + 2π) = sin ω t +					+ϕ	=
= sin[ω(t +T ) +ϕ],				ω
= sin[ω(t +T ) +ϕ],

что свидетельствует о том, что функция sin(ωt + ϕ ) является периодической с периодом

T = 2ωπ .

Отметим, что движение, характеризующееся уравнением y = α cosωt +bsinωt,

тоже есть гармоническое колебание. В самом деле, положив

α = Asinϕ, b = Acosϕ,

получим

Источник: https://studfile.net/preview/16564480/

Смотрите также:






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr