Материал: Ряды. учебное пособие. Ускова Н.Б., Бондарев А.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2;	Таким образом, область сходимости степенного ряда
	2.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда n 1 n .

Решение. Имеем коэффициенты степенного ряда:

an	1	;	an 1	1	.

	n			(n 1)

Найдем радиус сходимости по формуле (2.4):

n 1

R lim

lim

lim 1

an 1

Следовательно, интервал сходимости (-1; 1). Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При х=1 получим ряд с положительными членами (гар-

монический ряд) n 1 n . Для исследования его сходимости мож-

но применить интегральный признак сходимости Коши. Имеем:

;

f (x)

;

Интеграл расходится, поэтому расходится и гармонический ряд.

		( 1)	n
При x 1	получим знакочередующийся ряд:			.
		n
	n 1

Для исследования его сходимости применим признак Лейбница. Все условия теоремы Лейбница выполнены:

n n

1)	члены		ряда			монотонно убывают (по	модулю):
	1	1	1		1	... ;
			3
	2			4
2)	общий		член			ряда (по модулю) стремится	к нулю:

liman lim 1 0.

Следовательно, ряд сходится. Причем этот ряд сходится условно, так как ряд из абсолютных величин членов данного ряда (гармонический ряд) расходится.

Таким образом, область сходимости степенного ряда

1; 1.

2.3. Степенные ряды, разложенные по степеням (х–а)

Теорема Абеля. Если степенной ряд (2.2) сходится при некотором х=х0, то он сходится абсолютно при всех х, для кото-

рых: x a x0 a .

Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда, разложенного по степеням (х-а), является интервал сходимости (а-R; R+а) с центром в т. х=а. Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно, вне интервала – расходится. На концах интервала ряд может как сходиться, так и расходиться. Если R=0, то степенной ряд сходится только в одной точке: в т. х=а. Если R=∞, то ряд сходится при всех х. Радиус и интервал сходимости находится аналогично рядам, разложенным по степеням х.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда n! x 5 n. n 1

Решение. Имеем коэффициенты степенного ряда:

an n!; an 1 (n 1)!

Найдем радиус сходимости по формуле (2.4):

R lim

lim

an 1

(n 1)!

n!(n 1)

Ряд сходится только при х-5=0, т.е. только в точке х=5.

(x 2)n

Пример 2. Исследовать сходимость ряда 2 .

n 1 n

Решение. Имеем коэффициенты степенного ряда:

a	n	1	;	a	n 1	1	.
		n2				(n 1)2

Найдем радиус сходимости по формуле (2.4):

R lim		an	lim	n 1 2
					2
	an 1			n

n			n

	1 2
lim 1		1.

n	n

Следовательно, ряд сходится, если -1<x-2<1, т.е. интервал сходимости (1; 3). Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При х=3 получим ряд с положительными членами (ряд из

обратных квадратов) n 1 n2 .

Для исследования его сходимости можно применить интегральный признак сходимости Коши. Имеем:

1			1			dx		1

аn		;	f (x)		;	1				1	1.
	n2			x2			x2		x

Интеграл сходится (является конечной величиной), поэтому сходится и данный ряд.

		( 1)n
При х=1 получим знакочередующийся ряд:	n 1
При х=1 получим знакочередующийся ряд:		n2
		n2

Для исследования его сходимости применим признак Лейбница. Все условия теоремы Лейбница выполнены:

3)	члены		ряда			монотонно убывают (по	модулю):
	1	1	1		1	... ;
			32
	22			42
4)	общий		член			ряда (по модулю) стремится	к нулю:

lima	n	lim	1	0.

n		n n2

Следовательно, ряд сходится. Причем этот ряд сходится абсолютно, так как ряд из абсолютных величин членов данного ряда (ряд из обратных квадратов) сходится.

Таким образом, область сходимости степенного ряда [1;

3].

2.4. Свойства степенных рядов

1.На любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда f(x) есть непрерывная функция.

2.Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз, при этом после дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости.

3.Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости любое число раз, при этом после интегрирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости.

2.5. Разложение функций в степенные ряды

Всякая функция f(x), бесконечно дифференцируемая в окрестностях точки х=а, может быть разложена в сходящийся степенной ряд Тейлора:

f (x) f (a)

f (a)

x a

f (a)

x a 2 ...

f (n)(a)

x a n ...

При а=0 получаем ряд Маклорена:

(n)(0)

f (0)

f (x) f (0)

...

Таблица стандартных разложений элементарных функций в ряд Маклорена:

1 x

...

...;

( ; )

sin x x

x2n 1

... ( 1)

...; ( ; )

(2n 1)!

cosx

x2n

... ( 1)

...;

( ; )

(2n)!

ln(1 x) x

... ( 1)n

...;

1;1

x2n 1

arctgx x

... ( 1)n

...; 1;1

(2n 1)

6.(1 x) 1

( 1)

( 1)(

x3 ...

( 1)(

2)...( n 1)

...

Разложение справедливо: при α≥0 в интервале [-1;1];

при -1<α<0 в интервале

1;1 ; при α≤0 в интервале

1;1 .

Частные случаи:

6.1.

1 x x2 ... xn ...;

1;1;

1 x

Источник: https://studfile.net/preview/16568470/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)