Материал: Ряды. учебное пособие. Ускова Н.Б., Бондарев А.В

Пример 2. Найти частное решение уравнения y''=x+y при начальных условиях у(х=0)=1, у'(х=0)=1.

Решение. Запишем искомое решение в виде степенного ря-

да:

Подставляя первое начальное условие у(х=0)=1 в общее решение (2.12), можно найти значение постоянной С=1.

Найдем первую производную от общего решения (2.12):

Подставляя второе начальное условие у'(х=0)=1 в (2.13), можно найти значение постоянной С1=1.

Найдем вторую производную от общего решения:

y 2C2 2 3C3x 3 4С4х2 ... (2.14)

После постановки (2.12) и (2.14) в исходное уравнение получим:

или с учетом того, что С=1 и С1=1:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

при х0: 2С2=1; C2=1/2;

1

при х1: 2·3С3= 2; C3 3;

1

при х2: 3·4С4= С2; C4 2 3 4.

Таким образом, получаем искомое частное решение:

Теперь рассмотрим метод последовательного дифферен-

цирования. Пусть задано дифференциальное уравнение первого порядка (2.6) и начальные условия у(х=0)=у0. Частное решение этого уравнения y=φ(x) можно представить в виде ряда Маклорена:

Найдем коэффициенты этого ряда. Для этого необходимо определить значения функции f(x) и ее производных при х=0:

1)f(0) находят из начальных условий f(0)= у(х=0)=у0;

2)f'(0) можно найти из заданного уравнения (2.6):

f'(0) = y'(0)=F(x=0,y= у0);

3)следующие производные находят путем последовательного дифференцирования уравнения (2.6).

Аналогично поступают и в случае дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков.

Пример. Найти частное решение уравнения y'=x2+y2 в виде ряда Маклорена при начальном условии у(х=0)=1 (взять четыре первых членов разложения).

Решение. Из уравнения и начальных условий находим: f(0)= у(х=0)=1; f'(0) = y'(0)= 02+12=1.

Дифференцируя заданное уравнение, последовательно получаем: y''=(x2+y2)'=2х+2уу'; y'''=(2х+2уу')'=2+2у'у'+2уу''.

Полагая х=0 и используя значения у(0)=1 и y'(0) =1, находим: y''=2·0+2·1·1=2 и y'''=2+2·1·1+2·1·2=8.

Тогда искомое решение имеет вид:

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 1. Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

36

Задача № 2. Используя дифференцирование и интегрирование степенных рядов, найти сумму ряда и указать область сходимости данного ряда.

n 1

Задача № 3. Используя табличные разложения, составить ряд Тейлора по степеням x a для указанной функции и ука-

зать область сходимости.

37

Задача №4. Вычислить интеграл с точностью 0,0001.

Задача № 5. Найти первые 4–5 отличных от нуля членов в разложении решения y x дифференциального уравнения в ряд

Тейлора по степеням x a .

1.y ytgx,y π/6 1

2.y x3y x2,y(2) 0

38

3.РЯДЫ ФУРЬЕ

3.1.Тригонометрический ряд Фурье

При изучении различных периодических процессов, встречающихся в радиотехнике, целесообразно разгагать периодические функции,описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в тригонометрический ряд.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

a0 a1 cosx b1 sin x ... an cosnx bb sinnx ... 2

эффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (3.1) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом 2π, т.к. cosnx и sinnx являются периодическими функциями с периодом 2π.

Пусть f x – произвольная тпериодическая функция с пе-

риодом 2π. Предположим, что функция f x разлагается в три-

гонометрический ряд, т.е.она является суммой ряда:

Так как функция f x имеет период 2π, то ее можно рас-

сматривать на любом промежутке длины 2π. В качестве основного промежутка возьмем отрезок ; . Предположим, что интеграл от функции f x равняется сумме интегралов от чле-

нов ряда (3.2). Это будет выполняться, если числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического

39