Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Аналогичная выкладка показывает, что

ei1 (ei2 ei3 )= (ei1 ei2 ) ei3 ,

т.е. ассоциативность умножения для таких форм.

Пример 1.3. Используя разложение определителя по столбцу и на основании принципа математической индукции, получаем, что

Эта формула справедлива для любых 1-форм ei1 , ..., eik (не обязательно базисных форм линейного пространства X * ).

i

(ω1k + ωk2 ) ωl = (ω1k ωl )+ (ωk2 ωl ); (λωk ) ωl = ωk (λωl ) = λ(ωk ωl ) .

16

Доказательство.

1. Ассоциативность. Так как ωk Ωk

ωk = ai1...ik ei1 ... eik ;

ωk = Aωk ,

что следует из косой симметрии формы ωk :

ωk = Aωk = ai1...ik A(ei1 ... eik )= k1!ai1...ik ei1 ... eik .

В примере 1.2 провели выкладку, аналогичная которой дает возможность доказать ассоциативность умножения для 3-формы

ei1 (ei2 ei3 )= (ei1 ei2 ) ei3 = ei1 ei2 ei3 .

Применяя метод математической индукции, получаем ассоциативность для форм ei1 ... eik :

17

В определителе поменялись первый и второй столбцы, следовательно, знак определителя изменится на противоположный, откуда следует, что

eis e jm = −(e jm eis ).

Теперь рассмотрим

ωk ωl = k1! l1! ai1...ik bj1... jl ei1 ... eik e j1 ... e jl ; ωl ωk = l1! k1! bj1... jl ai1...ik e j1 ... e jl ei1 ... eik .

1-форма e j1 в первом равенстве занимала (k +1) -е место, а во втором равенстве 1-е место. Следовательно, чтобы выйти на первое место она меняется с k множителями ei1 , ..., eik и каждый раз происходит смена знака, т.е. возникает множитель (−1)k . Аналогично

происходит и с другими формами e j2 , ..., e jl . Поэтому

18

Мы воспользовались определением внешнего произведения и линейными свойствами тензорного произведения и операции альтернирования.

Аналогично проверяется свойство:

(λωk ) ωl = λ(ωk ωl ) .

Не раз мы использовали координатное представление формы

вым индексам, при этом 1 ≤ ij ≤ n , j = 1, 2, …, k).

т.е. суммирование ведется не по всем наборам индексов i1, ..., ik , а только по строго возрастающим наборам i1, ..., ik , где

1 ≤ i1 < i2 <... < ik ≤ n .

Теорема 1.3. Для любой кососимметрической k-формы ωk Ωk справедливо следующее координатное представление:

ωk = ∑ ai1...ik ei1 ... eik .

1≤i1<...<ik ≤n

19

Доказательство. Докажем справедливость этого представления

для 2-формы ω2 Ω2 и для X размерности 3, т.е. для k = 2 и n = 3 , чтобы почувствовать в чем тут дело:

X * . Тогда

ω2 (x1, x2 ) = ω2 (ei1 , ei2 ) x1i1 x2i2 = ω2 (e1, e1)x11x12 +

+ω2 (e1, e2 )x11x22 + ω2 (e1, e3 )x11x23 + ω2 (e2 , e1)x12 x12 +

+ω2 (e2 , e2 )x12 x22 + ω2 (e2 , e3 )x12 x23 + ω2 (e3 , e1)x13 x12 +

Но так как ω2 – кососимметрическая форма, то:

1)ω2 (ei , ei ) = 0 , i = 1, 2, 3;

2)ω2 (ei , ej ) = −ω2 (ej , ei ) , i, j =1, 2, 3;

ипоэтому формула (3.2) имеет вид

ω2 (e1, e2 )(x11x22 − x12 x12 )+ω2 (e1, e3 )(x11x23 − x13 x12 )+

= ∑ ai1i2 ei1 ei2 (x1, x2 ) .

1≤i1<i2 ≤3

Мы воспользовались примером 1.1.

20