Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Определение 6.2. Многообразием Грассмана Gk (Rn ) называет-

ся множество всех k-мерных подпространств в Rn .

Определение 6.3. Ориентированным многообразием Грассмана Gk+ (Rn ) называется множество всех k-мерных подпространств в

Rn с заданными на них ориентациями.

Пример.

1.G1 (Rn ) = RPn−1 .

2.G1+ (Rn ) ≈ Sn−1 .

3.Gn−1(Rn ) ≈ RPn−1 .

4.Gn−k (Rn ) ≈ Gk (Rn ) , k =1, 2, ..., n −1 .

Последнее отождествление определяется любой невырожденной билинейной формой в Rn . А отождествление

Gk+ (Rn ) ≈ Gn+−k (Rn )

окрестностями, участвующими в определении накрытия. Из этого покрытия открытыми множествами компактного множества можно выделить конечное подпокрытие. Для точек одной и той же ок-

рестности U отождествление множеств p−1( y) вытекает из определения: все они отождествлены с некоторым множеством (U ) . Искомое взаимно однозначное отображение строится как композиция таких отождествлений для подходящей цепочки точек yi нашего пути, лежащих в пересечениях соседних окрестностей, покрываю-

116

щих этот путь. Выбор пути однозначно определяет отождествление точек множеств p−1 ( y1 ) и p−1( y2 ) . Поэтому если задан путь

ϕ: [0, 1] →Y

изадана точка x p−1 (ϕ(0)) , то существует единственный путь

Φ: [0, 1] → X ,

для которого Φ(0) = x и p DΦ = ϕ .

Определение 6.4. Путь Φ называют поднятием пути ϕ. Он однозначно определяется начальной точкой x.

Какие бывают неэквивалентные накрытия над сферой S 2 ?

X1 →f X 2

2p1 0p2

Y

коммутативна.

§ 25. Расслоения

Понятие накрытия можно обобщить и на случай, когда прообраз точки не является дискретным.

25.1. Локально тривиальное расслоение

Определение 6.6. Локально тривиальным расслоением называется четверка (E, B, F, p) , где E, B, F – топологические простран-

ства, а p : E → B – отображение, обладающее следующими свой-

ствами:

1) у любой точки x B есть окрестность U, полный прообраз которой p−1(U ) гомеоморфен U × F ;

117

2) гомеоморфизм U × F → p−1 (U ) согласован с отображением p, т.е. диаграмма

U × F → p−1 (U )

2 0p

U

коммутативна.

Из условия 2, в частности, следует, что прообраз любой точки гомеоморфен F.

Отображение p называется проекцией, пространство E называется пространством расслоения, пространство B – базой расслоения, пространство F – слоем или типичным слоем расслоения.

Примеры расслоений.

1.Прямое произведение B × F → F . Такие расслоения называются тривиальными.

2.Любое накрытие.

3.Лист Мебиуса – пространст-

вить как множество векторов единичной длины в ^2 . Множество

комплексных прямых в ^2 , проходящих через начало координат, представляет собой одномерное комплексное проективное про-

странство CP1 , гомеоморфное одноточечной компактификации ^ , т.е. гомеоморфное S 2 . Имеется естественное отображение

118

^1 \ {0} → ^P1 ,

сопоставляющее каждому вектору соответствующую комплексную

плексной прямой с S 3 , т.е. окружность S1 .

Задача 6.1. Доказать, что расслоение Хопфа нетривиально (т.е. оно не сводится к прямому произведению).

Определение 6.7. Расслоения p1 : E1 → B и p2 : E2 → B называются эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм

ϕ: E1 → E2 ,

что p1 = p2ϕ .

Определение 6.8. Тривиализацией расслоения p : E → B называется (если существует) гомеоморфизм E → B × F , имеющий вид e → ( p(e), p1 (e)) ,

где p1 (e) F . Для задания тривиализации нужно лишь задать отображение p1 : E → F . Гомеоморфизм тривиализации неединстве-

нен. Более того, две тривиализации могут быть не гомеоморфными.

Пример.

Рис. 12

119

Теорема 6.1 (Фельдбау). Любое локально тривиальное расслое-

ние над замкнутым шаром Dk тривиально, т.е. эквивалентно прямому произведению.

(Оставим доказательство этой теоремы читателю.)

Упражнение 6.1. Верно ли, что любое расслоение со слоем Dk тривиально?

Указание 6.1. Рассмотрите лист Мебиуса; при k >1 можно воспользоваться конструкцией расслоенного произведения.

Определение 6.9. Расслоенным произведением локально тривиальных расслоений p : E → B и p′: E′→ B называется расслое-

ние, для которого пространство расслоения состоит из пар (e, e′) , где точки e E , e′ E′ таковы, что p(e) = p′(e′) ; проекция на базу

B определяется очевидным образом. Слоем построенного расслоения является прямое произведение исходных расслоений.

Теорема 6.2 (о накрывающей гомотопии). Пусть p : E → B

локально тривиальное расслоение, ] – клеточное пространство. Пусть заданы отображение

f : ] → E

и гомотопия

F : ]× I → B

отображения

pf : ] → B .

Тогда эту гомотопию можно поднять до гомотопии Φ:

]× I → E отображения f.

25.2.Точная последовательность расслоения

Пусть p : E → B – локально тривиальное расслоение; b0 B –

πi (E, F ) → πi (B) ,

посколькуF приэтомотображениипереходитвотмеченнуюточку b0 .

120