Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014
Теорема 6.3. Гомоморфизм πi (E, F) → πi (B) является изомор-
физмом.
Следствие 6.1. Если p : E → B – накрытие, то πi (B) πi (E) при i ≥ 2 . Действительно, у дискретного пространства F гомотопические группы πi (F) при i ≥1 тривиальны.
Следствие 6.2. |
π2 (S 2 ) = . |
Следствие 6.3. |
π3 (S3 ) π3 (S2 ) . |
121
Г л а в а 7
ЗАДАЧИ И УПРАЖЕНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
К гл. 2–4
Задача 7.1. Проверьте, что вводимый определением 2.24 объект (многообразие) не изменится, если потребовать лишь, чтобы каждая точка x M имела окружность A(x) M , гомеоморфную от-
крытому подмножеству полупространства H n .
Задача 7.2. GL(n, R) – общая линейная группа – группа всех невырожденных вещественных матриц порядка n.
1.Докажите, что GL(n, R) – n2 -мерное многообразие.
2.Проверьте, что GL(n, R) некомпактно.
3.Покажите, что GL(n, R) несвязно. Найдите компоненты связности GL(n, R) .
Задача 7.3. Докажите, что группа SO(2, R) ортогональных пре-
образований плоскости R2 , имеющих определитель, равный 1, изоморфна окружности S1 .
Постройте какой-нибудь изоморфизм ϕ: SO(2, R) → S1 . Задача 7.4. Докажите, что SO(n, R) – связное многообразие.
Найдите размерность SO(n, R) .
Задача 7.5. Докажите, что O(n, R) – многообразие, компактное
и имеет две компоненты связности. Вычислите размерность
O(n, R) .
Задача 7.6. Пусть (M , τ) и (M , τ) – многообразия с заданными на них гладкими структурами одной и той же степени гладкости C(k ) . Гладкие многообразия (M , τ) и (M , τ) (гладкие структуры)
122
считаются изоморфными, если существует такое отображение f : M → M класса C(k ) , которое имеет обратное отображение f −1 :
M → M того же класса гладкости C(k ) в атласах τ, τ . Покажите, что:
а) на R1 все структуры одинаковой гладкости изоморфны;
б) на окружности S1 (одномерной сфере) любые две C(∞) структуры изоморфны.
Замечание 7.1. Отметим, что только высказанное утверждение остается в силе и для сфер, размерность которых не превосходит 6,
а уже на S7 , как показал Милнор, существуют неизоморфные C(∞) структуры.
Задача 7.7. Покажите, что при гладком гомеоморфизме f : R1 →T 2 прямой R1 в тор T 2 образ f (R1) может быть всюду
плотным подмножеством T 2 и в этом случае не будет одномерным подмногообразием тора, хотя и будет абстрактным одномерным многообразием.
Задача 7.8.
1.Используя конструкции примеров 3.9 и 3.10 RP1 и RP2 , постройте n-мерное вещественное проективное пространство RPn .
2.Покажите, что RPn ориентируемо, если n нечетно, и неориентируемо, если n четно.
3.Проверьте, что многообразия SO(3, R) и RP3 гомеоморфны.
Определение 7.1. Система подмножеств топологического пространства называется локально конечной, если каждая точка пространства имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом множеств системы. В частности, можно говорить о локально конечном покрытии пространства.
Определение 7.2. Одна система множеств называется вписанной в другую, если любое множество первой системы содержится по крайней мере в одном из множеств второй системы. В частности, можно говорить о том, что одно покрытие некоторого множества вписано в другое такое покрытие.
А. Покажите, что в любое открытое покрытие Rn можно вписать открытое локально конечное покрытие Rn .
123
Б. Решите задачу А с заменой Rn произвольным многообразием
M.
С. Покажите, что на Rn существует разбиение единицы, подчиненное любому наперед заданному покрытию.
Д. Проверьте, что утверждение с остается в силе для произвольного многообразия.
Задача 7.9. Пусть B A . Отображение i : B → A , которое каждой точке x B ставит в соответствие ее же как точку множества A, называют каноническим вложением B в A.
Если ω-форма на многообразии M, а M ′ – подмногообразие M, то каноническое вложение i : M ′ → M порождает на M ′ форму
i * ω, которую называют сужением или ограничением формы ω на
M ′.
Покажите, что правильная запись формулы Стокса должна иметь вид
∫dω= ∫ i * ω,
M ∂M
где i : ∂M → M – каноническое вложение ∂M в M, а ориентация на ∂M берется согласованной с ориентацией M.
Задача 7.10.
А. Пусть M n – гладкое (C(∞) ) ориентируемое n-мерное многообразие, а Ωcn (M n ) – пространство гладких (C(∞) ) n-форм с ком-
пактным носителем на M n .
Покажите, что существует и притом единственное отображение
∫ : Ωcn (M n ) → R ,
M n
обладающее следующими свойствами: 1) отображение ∫ линейно;
M n
2) если A, h : A → I n (I n ) Rn – карта задающего ориентацию
M n атласа, supp ω A и в локальных координатах x1, ..., xn этой карты
124
ωn = a(x) dx1 ... dxn ,
то
∫ ω = |
∫ a(x) dx1... dxn , |
M n |
I n ( I n ) |
где справа стоит интеграл Римана от функции a(x) по соответст-
вующему кубу I n (I n ) .
Б. Всегда ли указанное выше отображение можно продолжить до обладающего теми же свойствами отображения
∫ : Ωn (M n ) → R
M n
пространства Ωn (M n ) всех гладких n-форм на M n ?
Задача 7.11. Пусть M n – гладкое n-мерное многообразие и в каждой точке x M n фиксирован ξ(x) TxM n , т.е. на M n задано векторное поле X.
А. Покажите, что любой вектор X (x) = ξ(x) Tx M n можно интерпретировать как дифференцирование в соответствующей точке x, т.е. по любой функции f C(∞) (M n , R) можно построить функ-
цию |
Xf (x) , значение которой в любой точке x M n |
вычисляется |
применением X (x) к f, т.е. дифференцированием f |
по вектору |
|
X (x) |
поля X. |
|
Определение 7.3. Векторное поле X на M n называется гладким (класса C(∞) ), если для любой функции f C(∞) (M n , R) функция
Xf также принадлежит классу C(∞) (M n , R) .
Б. Пусть X и Y – два гладких векторных поля на гладком многообразии M n . Для функции f C(∞) (M n , R) построим функционал:
[ X , Y ] f = X (Yf ) −Y ( Xf ) .
Проверьте, что [ X , Y ] – тоже гладкое векторное поле на M n . Оно называется скобкой Пуассона векторных полей X и Y.
125