Материал: Шпори Економіко-математичні методи і моделі

2) степенева функція: 3) гіпербола:

4) квадратична функція:

У цих функціях:y — залежна (пояснювана) змінна;

— незалежні, або пояснювальні, змінні;

Серед наведених щойно видів функцій три останні є нелінійними. Але за допомогою перетворення залежної і незалежних змінних ці функції можна звести до лінійних. Специфіка­ція моделі передбачає добір чинників для економетричного дослідження. Види помилок специфікації. Правильна специфікація рівняння регресії означає, що воно в цілому вірно відображає співвідношення між економічними показниками, що беруть участь в моделі. Неправильний вибір функціональної форми або набору пояснюючих змінних називається помилками специфікації.

1. Відкидання значущої змінної

2. Додавання незначущої змінної

3. Вибір неправильної функціональної форми

Наслідки даної помилки будуть вельми серйозними. Зазвичай така помилка приводить або до отримання зміщених оцінок, або до погіршення статистичних властивостей оцінок коефіцієнтів регресії і інших показників якості рівняння. Прогнозні якості моделі в цьому випадку дуже низькі.

Виявлення та коригування помилок специфікації.

Якщо в рівнянні регресії є одна неістотна змінна, то вона виявить себе по низькій t-статистиці. Надалі цю змінну виключають з розгляду. Якщо в рівнянні декілька статистично незначущих пояснюючих змінних, то слід побудувати інше рівняння регресії без цих незначущих змінних. Потім за допомогою F-статистики порівнюються коефіцієнти детерміації для первинного і додаткового рівнянь регресій:

Нагадаємо, що при визначенні якості моделі зазвичай аналізуються наступні параметри: а) скоректований коефіцієнт детерміації ;б) t-статистики; в)статистика Дарбіна—Уотсона DW; г) узгодженість знаків коефіцієнтів з теорією. д)прогнозні якості (помилки) моделі.. Якщо ж яка-небудь з описаних вище характеристик не є задовільною, тобто є підстави сумніватися щодо якості даної моделі. Існує і ряд інших тестів виявлення помилок специфікації, серед яких можна виділити:

1. Тест Рамсея RESET (Regression specification error test).

2. Тест (критерій) максимальної правдоподібності.

3. Тест Вальда (The Wald test).

4. Тест множника Лагранжа (The Lagrange multiplier test).

5. Тест Хаусмана (The Hausman test).

6. Box-сох перетворення (Box-Cox transformation).

Відзначимо, що суть вказаних тестів полягає або в здійсненні перетворень випадкових відхилень, або в масштабуванні залежної змінної, з тим щоб можна було порівняти початкове і перетворене рівняння регресії на основі відомого критерію.

41.Сутність моделювання як методу наукового пізнання.???

Сутність методології математичного моделювання полягає в заміні досліджуваного об’єкта його «образом» — математичноюмоделлю — і подальшим вивченням (дослідженням) моделі на підставі аналітичних методів та обчислювально-логічних алгоритмів, які реалізуються за допомогою комп’ютерних програм. Робота не із самим об’єктом (явищем, процесом), а з його моделлю дає можливість відносно швидко і безболісно досліджувати його основні (суттєві) властивості та поведінку за будь-яких імовірних ситуацій (це переваги теорії). Водночас обчислювальні (комп’ютерні, симулятивні, імітаційні) експерименти з моделями об’єктів дозволяють ретельно та досить глибоко вивчати об’єкт, що недоступно суто теоретичним підходам (це перевага експерименту).

Вже сама постановка питання щодо математичного моделювання будь-якого об’єкта породжує чіткий план дій, який умовно можна поділити на три етапи: модель — алгоритм — програма.

На першому етапі обирається (чи будується) «еквівалент» об’єкта, що відображає в математичній формі найважливіші (ключові) його властивості — закони, яким він підпорядковується, зв’язки, що притаманні складовим його частинам, тощо. Другий етап — вибір (чи розроблення) алгоритму для реалізації моделі на комп’ютері. Модель подається у формі, зручній для застосування числових методів, визначається послідовність обчислювальних і логічних операцій, котрі необхідно здійснити, щоб отримати шукані величини із заданою точністю.

На третьому етапі створюються програми, що «переносять» модель і алгоритм на доступну комп’ютерну мову. Їх можна назвати «електронним» еквівалентом досліджуваного об’єкта.

Створивши тріаду: «модель — алгоритм — програма», дослідник (системний аналітик) отримує універсальний, гнучкий і відносно дешевий інструмент, який тестується в «пробних» обчислювальних експериментах.

42.Суть гетероскедастичності.

Р озглянемо модель, що належить до 1-ої групи моделей з порушенням передумов ЗМНК.

При здійснені вибірки ми маємо справу з конкретними реаліз залежної змінної У і відповідними значеннями змінних регресорів, при цьому завжди буде присутній фактор випадкових збурень, що породжують випадкові відхилення (ВВ).ВВ апріорно можуть набувати довільних значень, що підпорядковуються певним ймовірним розподілом. Однієї з головних вимог до цих розподілів є рівність їх дисперсії. Цю вимогу необхідно розуміти наступним чином: Незважаючи на те, що при кожному конкретному спостереженні, ВВ будуть між собою відрізнятися. Не повинно існувати причини, яка б спонукала значну розбіжність між цими величинами, тобто похибки в середньому для всіх спостережень повинні мало відрізнятися.Розглянемо залежність: Розглянемо для даної моделі 2 випадки:

1. Умова гомоскедастичності виконується.

2. У мова гомоскедастичності не виконується, тобто наявна гетероскедастичність. В цьому випадку можуть виникати проблеми з ефектом масштабу різниць одиниць виміру. У часових рядах явище гетероскедастичності повТязано з тим, що одні і тіж самі показники розглядаються в різні моменти часу. За наявності гетероскедастичності 1-ої групи статистична оцінка дисперсії обчислюється наступним чином:

Тоді Т-,Ф-статистики та інтервали оцінки

параметрів моделі стануть не надійними, отже використовується ЗМНК при наявності гетероскедастичності в моделі. Маємо суму квадратних похибок:

Кожне конкретне значення в наведеній сумі має однакову питому вагу незалежно від того, чи одерж його при значенні Х=хі, де є мала дисперсія, чи призначені Х=хj, де наявна велика дисперсія, що вважається не припустимо.

43.Узагальнений метод найменших квадратів.

Нехай досліджується лін модель:

з порушенням умов гомоскедастичності, тобто

Д ана матриця є симетричною та додатньо-визначеною матрицею н-го порядку. Тоді для даної матриці існує така невирождена матриця «Пі», для якої:

З дійснюємо наступні перетворення:

• ліву і праву частини множимо на :

• В ведемо умовні позначення:

• О держимо рівняння:

П еревірка моделей на гетероскедастичність, в даному випадку, підтверджується. Тому для визначення статистичних оцінок моделей можна викор ЗМНК, для якого:

А ле враховуючи умовні позначення, отримаемо:

Таким чином, одержимо:

Д е

Розглянутий метод перетворень початкової моделі з подальшим використання ЗМНК отримав назву УМНК.

44.Умови Гауса-Маркова.

1. Математичне сподівання випадкових відхилень повинно дорівнювати нулеві: .Ця умова вимагає, щоб випадкові відхилення в середньому не впливали на залежну змінну Y, тобто в кожному конкретному спостереженні відхилення може набувати додатні або від’ємні значення, але не повинно спостерігатися систематичне зміщення відхилень в переважній більшості в бік одного знаку.

2. Дисперсія випадкових відхилень повинна бути сталою величиною , .

3. Відсутність систематичного зв’язку між значеннями випадкового елемента у будя яких двох спостереженнях.

4. Випадковий елемент повинен бути розподілений незалежно від пояснюючих змінних.

5. Компоненти випадкового вектора повинні мати нормальний закон розподілу.

6. Між регресорами , матриці Х повинна бути відсутня лінійна (кореляційна) залежність. Для цього випадку повинна виконуватися умова .

7. Економетричні моделі повинні бути лінійними відносно своїх параметрів.

Економетричні моделі, для яких виконуються умови (1-7), називають класичними лінійними моделями.

Моделі, для яких виконується умова (2) (сталість дисперсії випадкових відхилень), називають гомоскедастичними.

Моделі, для яких не виконується умова (2) ( ), називають гетероскедастичними.