Материал: Шпори Економіко-математичні методи і моделі

9.Гетероскедастичність і зважений метод найменших квадратів.

Якщо дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження або групи спостережень, тобто , то це явище називається гетероскедастичністю

Якщо існує гетероскедастичність залишків, то це спричинюється до того, що оцінки параметрів моделі 1МНК будуть незміщеними, обгрунтованими, але неефективними. При цьому формулу для стандартної помилки оцінки, строго кажучи, застосувати не можна.

Перевірка гетероскедастичності на основі критерію 

Цей метод застосовується тоді, коли вихідна сукупність спостережень досить велика. Крок 1. Вихідні дані залежної змінної Y розбиваються на k груп .

Крок 2. За кожною групою даних обчислюється сума квадратів відхилень:

Крок 3. Визначається сума квадратів відхилень в цілому по всій сукупності спостережень

Крок 4. Обчислюється параметр :

де n — загальна сукупність спостережень; n_r — кількість спостережень r-ї групи.

Крок 7. Обчислюється критерій: який наближено відповідатиме розподілу при ступені свободи , коли дисперсія всіх спостережень однорідна. Тобто якщо значення не менше за табличне значення при вибраному рівні довіри і ступені свободи , то спостерігається гетероскедастичність.

Параметричний тест Гольдфельда — Квандта

Крок 1. Упорядкувати спостереження відповідно до величини елементів вектора X_j.

Крок 2. Відкинути c спостережень, які містяться в центрі вектора. Згід­но з експериментальними розрахунками автори знайшли оптимальні спів­відношення між параметрами c і n, де n — кількість елементів вектора :

Крок 3. Побудувати дві економетричні моделі на основі 1МНК за двома утвореними сукупностями спостережень за умови, що перевищує кількість змінних m.

Крок 4. Знайти суму квадратів залишків за першою (1) і другою (2) моделями і : , де — залишки за моделлю (1);

, де — залишки за моделлю (2).

Крок 7. Обчислити критерій

який в разі виконання гіпотези про гомоскедастичність відповідатиме F-роз­поділу з , ступенями свободи. Це означає, що обчислене значення R* порівнюється з табличним значенням F-крите­рію для ступенів свободи і і вибраного рівня довіри. Якщо , то гетероскедастичність відсутня.

Непараметричний тест Гольдфельда - Квандта

Цей тест базується на числі піків у величини залишків після упорядкування спостережень за .Закономірність зміни залишків, коли дисперсія є однорідною, — явище гомоскедастичності ілюструє рис. 7.1, а на рис.7.2 спостерігається явище гетероскедастичності.

Тест Глейсера

Він запропонував розглядати регресію абсолютних значень залишків , що від­повідають регресії найменших квадратів, як певну функцію від , де — та незалежна змінна, яка відповідає зміні дисперсії . Для цього використовуються такі види функцій:1) 2) 3)

Застосуємо зваженений метод найменших квадратів для знаходження оцінок параметрів моделі з гетероскедастичними регресійними залишками.

На основі тесту Гольдфельда-Квандта та Глейзера припускаємо, що . Одержуємо ,де , . Для визначення та використовується формула: ,де

10.Гомоскедастичні та гетероскедастичні моделі.

Передумови, які висуваються при оцінці параметрів моделі за методом 1МНК на практиці часто можуть порушуватись. Однією з таких передумов є незмінність дисперсії залишків для всіх спостережень вихідної сукупності. Це явище називається гомоскедастичністю. В практичних дослідженнях воно часто порушується. Наприклад, в економетричній моделі, що характеризує залежність витрат на споживання від доходу, дисперcія залишків може змінюватись для спостережень, які відносяться до різних груп населення за розміром доходів.

Якщо дисперсія залишків в економетричному моделюванні змінюється для кожного спостереження або для груп спостережень, то це явище називається гетероскедастичністю.

Наявність гетероскедастичності спричиняє порушення властивостей оцінок параметрів моделі при розрахунку їх за методом 1МНК. Тому завжди виникає необхідність вивчати це явище, і, якщо воно існує, для оцінки параметрів моделі використовувати узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена).

Для визначення гетероскедастичності застосовуються чотири критерії:

1) критерій ;

2) параметричний тест Гольдфельда—Квандта;

3) непараметричний тест Гольдфельда—Квандта;

4) тест Глейсера.

11.Економетричний аналіз лінійної функції парної регресії в ms Exel.

Для того, щоб здійснити аксонометричний аналіз лінійної функції парної регресії засобами МS Excel, необхідно спочатку увійти в меню Сервіс, потім необхідно вибрати пункт аналіз данних,і у вікну «Аналіз данних» вибрати Регресія. Після цього зявиться вікно, де необхідно ввести початкові вхідні данні та оставити певні додаткові мітки за потребою. Неохідно задати також рівень надійності, який, як правило, становить 95% Після натиснення на кнопку ОК, на новому робочому листі зявиться вивід підсумків, на якому відображаються всі парметри аналізу регресіїї, а саме: коефіцієнт кореляції, коеф. Детермінації, нормований R-квадрат,стандартна похибка, у розділі дисперсіональний аналіз приводяться данні про критерій F. А також за допомогою Аналізу даних можна легко і без зайвих зусиль порахувати T- статистку,P-значення, граничну похибку пробнозу та довірчі інтерали.

12.Елементи класифікації економіко-математичних моделей.

За цільовим призначенням е.м. моделі поділяються на теоретико-аналітичні, що використовуються під час дослідження загальних вл-стей і закономірностей екон процесів, і прикладні, що застосовуються у розв’язанні конкретних еконо задач (моделі економічного аналізу, прогнозування).

Відповідно до загальної клас-ції мат моделей вони поділяються на функціональні та структурні, а також проміжні форми (структурно-функціональні). Типовими структурними моделями є моделі міжгалузевих зв’язків. Прикладом функціональної моделі може слугувати модель поведінки споживачів в умовах товарно-грошових відносин.

Моделі поділяють на дескриптивні та нормативні. Прикладом дескриптивних моделей є виробничі функції та функції купівельного попиту, побудовані на підставі опрацювання статистичних даних. Типовим прикладом нормативних моделей є моделі оптимального (раціонального) планування, що формалізують у той чи інший спосіб цілі екон розвитку, можливості і засоби їх досягнення.

За способами відображ чинника часу е.м. моделі поділяються на статичні й динамічні.

Моделі екон процесів надзвичайно різноманітні за формою матем залежностей. Важливо виокремити клас лінійних моделей, що набули значного поширення завдяки зручності їх використання. Відмінності між лінійними і нелінійними моделями є суттєвими не лише з математичного погляду, а й у теоретико-економ плані, адже багато залежностей в економіці мають принципово нелінійний хар-р.

За співвідношенням екзогенних і ендогенних змінних, які включаються в модель, вони поділяються на відкриті і закриті. Повністю відкритих моделей не існує; модель повинна містити хоча б одну ендогенну змінну. Повністю закриті економіко-математичні моделі, тобто такі, що не містять екзогенних змінних, надзвичайно рідкісні. Переважна більшість е.м. моделей посідає проміжну позицію і розрізняється за ступенем відкритості (закритості).

За способом реалізації виділяють:

- аналітичні

- комп’ютерні: а) чисельні, б) імітаційні, в) статистичні.

Для аналітичного моделювання хар-рним є те, що процеси функціонування елементів системи записують у вигляді деяких математичних співвідношень (алгебраїчних, інтегро-диференційних, кінцево-різницевих тощо) чи логічних умов.

Комп’ютерне моделювання хар-ризується тим, що матем модель системи (використовуючи основні співвідношення аналітичного моделювання) подається у вигляді деякого алгоритму та програми, придатної для її реалізації на комп’ютері, що дає змогу проводити з нею обчислювальні експерименти. Залежно від матем інструментарію (апарату), що використовується в побудові моделі, та способу організації експериментів можна виокремити три взаємопов’язані види моделювання: чисельне, алгоритмічне (імітаційне) та статистичне.

У чисельному моделюванні для побудови комп’ютерної моделі використовуються методи обчислювальної математики, а обчислювальний експеримент полягає в чисельному розв’язанні деяких математичних рівнянь за заданих значень параметрів і початкових умов.

Алгоритмічне (імітаційне) моделювання (може бути детермінованим та стохастичним) — це вид комп’ютерного моделювання, для якого хар-рним є відтворення на комп’ютері (імітація) процесу функціонування досліджуваної складної системи.

Статистичне моделювання — це вид комп’ютерного моделювання, який дозволяє отримати статистичні дані відносно процесів у модельованій системі

13.Емпірична модель множинної лінійної регресії.

На будь-який економічний показник Y, як правило, впливає не один, а декілька факторів (регресорів) .

В подібних випадках маємо справу з множинною лінійною моделлю (регресією), що описує взаємний зв’язок між залежною змінною Y та регресорами і яку можна подати такому вигляді:

Загальний запис теоретичної лінійної множинної регресії може бути зроблений в такому вигляді:

(16.1)

де – теоретичні коефіцієнти регресії (часткові коефіцієнти); – вільний член; – значення -го регресора при і-ому спостереженні; – випадковий збудник.

Для однозначного визначення параметрів моделі необхідно, щоб виконувалась нерівність де n – число спостережень; m – число регресорів

У векторно-матричній формі теоретичну модель можна подати так: (16.2) де

Якщо теоретичний вектор є величиною сталою і нам невідомою, то емпіричний вектор ми можемо визначити шляхом обробки статистичної інформації вибірки обсягом n. Враховуючи те, що вибірка складає лише незначну частину генеральної сукупності (n≤N), то інформація, яку одержимо при статистичній обробці, про регресори X_j моделі буде не повною і для кожної іншої вибірки буде потерпати певні зміни. Отже, компоненти емпіричного вектора будуть містити елемент випадковості. Таким чином, , як і сам вектор будуть випадковими величинами, які мають певні закони розподілу ймовірностей із відповідними числовими характеристиками.