Материал: Шпори Економіко-математичні методи і моделі

33.Перевірка статистичної значущості коефіцієнта множинної детермінації за критерієм Фішера.

Для перевірки статистичної значущості впливу регресорів на залежну змінну моделі використовуємо статистичний критерій Фішера:

;

при рівні значущості =0,05 та ступенях свободи k₁=m=2 i k₂=n-m-1=22 по таблиці розподілу Фішера знаходимо =3,44.

Обчислимо спостережене значення критерію за формулою:

.

Критерій Фішера має правобічну критичну область із критичною точкою робимо статистичний висновок:

оскільки > , то статистична гіпотеза відхиляється, отже всі регресори мають вплив на залежну змінну.

34.Побудова моделі множинної регресії.

Розглядається багатофакторна лінійна регресійна модель

, (2.38)

що описує залежність між результативною змінною у та деякими впливовими факторами х₁, х₂, ..., х_m. Інформація про значення у, х₁, х₂, ..., х_m міститься у відповідних статистичних даних – n спостереженнях (вимірюваннях) кожного показника.

Для дослідження зазначеної моделі слід виконати такі кроки.

1. За даними спостережень оцінити параметри a₁, a₂, ..., a_m.

2. Для перевірки адекватності отриманої моделі обчислити:

а) залишки моделі – розбіжності між спостереженими та розрахунковими значеннями залежної змінної

б) відносну похибку залишків та її середнє значення;

в) залишкову дисперсію;

г) коефіцієнт детермінації;

д) вибірковий коефіцієнт множинної кореляції.

3. Перевірити статистичну значущість отриманих результатів:

а) перевірити адекватність моделі загалом: за допомогою F-критерію Фішера перевірити гіпотезу

(2.39)

проти альтернативної H_A: існує хоча б один коефіцієнт а_j0;

б) перевірити значущість коефіцієнта множинної кореляції, тобто розглянути гіпотезу H₀ : R = 0;

в) перевірити істотність кожного коефіцієнта регресії: за допомогою t-критерію Стьюдента перевірити гіпотезу

(2.40)

де , .

Аналогічно можна визначити коефіцієнти автокореляції 2-го і більших порядків. Так. Коефіцієнт автокореляції 2-ого порядку характеризує тісноту зв’язку між рівнями yt, yt-2 і визначається:

Число періодів, за якими розраховується коефіцієнт автокореляції наз. лагом.

Послідовність коеф.автокор.рівнів 1,2,н-го порядків наз. автокореляційною ф-ією, а графік залежності її з-ня від величини лагу – корелограмою.

Ідентифікація детермінованого тренду і сезонності:

• Ряд не має тренду, якщо кое.кореляції між рівнями ряду не не залежить від часового лагу і не мають певної закономірності змінних.

• Ряд має лінійний адаптивний тренд, у випадку, коли автокореляційний аналіз вказує на лінійну залежність зміни автокореляції від часового лагу, а перехід до перших різниць виключає цю залежність.

• Ряд містить сезонну складову. Якщо не снує лінійної залежності зміни коефіцієнтів автокореляції від часового лагу, але корелограма містить велику к-ть значущих макс і мінім з-нь коеф.автокореляції, що свідчать про значну залежність між спостережуючими зрушеннями на однаковий часовий інтервал.

• Ряд має лінійний тренд і сезонну складову, якщо його корелограма вказує на лінійну залежність зміни коефіцієнтів автокореляції від часового лагу і містить велику к-ть значущих макс і мінім з-нь коеф.автокорел., а перехід до одних різниць виключає лінійний тренд, але статистична значущість певних коєф. автокореляції залишаеться.

проти відповідних альтернативних гіпотез

(2.41)

г) оцінити вплив кожного регресора на якість моделі, тобто обчислити часткові коефіцієнти детермінації , скоригувати їх за Тейлом і за Амемією та дати їх відповідну інтерпретацію;

д) оцінити вплив окремих груп регресорів на змінювання регресанда, застосувавши F-критерій Фішера.

4. Обчислити та інтерпретувати коефіцієнти еластичності.

5. Визначити довірчі інтервали регресії при рівні значущості .

6. Побудувати довірчі інтервали для параметрів регресії.

7. Обчислити прогнозні значення y_р за значеннями , що перебувають за межами базового періоду, і знайти межі довірчих інтервалів індивідуальних прогнозованих значень і межі довірчих інтервалів середнього прогнозу.

35.Принципи математичного моделювання.

Сформулюємо принципи, які визначають ті загальні вимоги, яким повинна задовольняти правильно побудована математична модель деякого об’єкта (системи).

Принцип 1. Полярність діалектичної пари «модель — об’єкт». Ця діалектична пара завжди полярна, має два полюси — «модель» і «об’єкт».

Принцип 2. Первинність об’єкта. З двох взаємно пов’язаних полюсів діалектичної пари «модель — (об’єкт) один із них — (об’єкт) є первинним, інший (модель) — похідним від нього.

Принцип 3. Зумовленість моделі об’єктом. Наявність полюсу «модель» зумовлює необхідність наявності полюсу «об’єкт».

Принцип 4. Множинність моделей щодо об’єкта дослідження. Як «модель» для об’єкта, так і «об’єкт» для даної «моделі» семантично та інтерпретаційно багатозначні: «об’єкт» описується не однією, а багатьма «моделями», «модель» віддзеркалює властивості не одного, а багатьох «об’єктів».

Принцип 5. Адекватність. Цей принцип передбачає відповідність моделі меті дослідження, прийнятій системі гіпотез за рівнем складності й організації, а також відповідність реальній системі (об’єкту). Доки не вирішено питання, чи правильно відображає модель досліджувану систему (об’єкт), цінність моделі незначна.

Принцип 6. Спрощення за умови збереження суттєвих (ключових) властивостей об’єкта (системи). Модель повинна бути в деяких аспектах суттєво простішою від прототипу — в цьому власне й полягає сенс моделювання, тобто модель ігнорує несуттєві властивості об’єкта. Цей принцип може бути названий принципом абстрагування від другорядних деталей.

Практичні рекомендації щодо зменшення складності моделі:

• зменшення кількості змінних за допомогою виключення несуттєвих змінних або їх об’єднання.

• зміна природи змінних величин й параметрів.

• зміна функціональної залежності між змінними.

• зміна обмежень (збільшення, виключення чи модифікація).

• обмеження точності моделі. Точність результатів моделі не може бути вищою за точність вхідних даних.

Принцип 7. Блочна побудова. За дотримання цього принципу блочної побудови полегшується розроблення складних моделей і з’являється можливість використання накопиченого досвіду та адаптації готових блоків із мінімально необхідними зв’язками між ними. Виокремлення блоків відбувається з урахуванням розподілення моделі за етапами й режимами функціонування об’єкта (системи).

Складні об’єкти (системи) потребують розроблення цілої ієрархії моделей. Виокремлюють такі рівні, як вся система, підсистеми, підсистеми керування тощо.

Існують різні форми зображення математичної моделі. Найтиповіші групи їх різновидів — інваріантна, алгоритмічна, аналітична, схемна.

37.Прогнозування значень залежної змінної.

Економетричне моделювання зв’язку між економічними показ­никами завжди складаєтьмя з трьох етапів:

1. побудови економетричної моделі;

2. перевірки статистичної значущості моделі та оцінювання її параметрів;

3. прогнозування на основі моделі.

Використаємо модель для знаходження прогнозного значення y₀, яке відповідатиме очікуваним значенням матриці незалежних змінних X₀.

Розглянемо спочатку точковий прогноз і припустимо, що ми визначили його як деяку лінійну функцію від y_i:

де і — номер спостереження ( ); — вагові коефіцієнти значень (їх потрібно вибрати так, щоб значення було найкращим лінійним незміщеним прогнозом).

Оскільки то незміщена точкова оцінка прогнозу

де Х₀ — матриця очікуваних значень пояснювальних змінних.

Задаючи X₀, підставимо значення цього вектора в побудовану економетричну модель

Щоб дістати інтервальний прогноз, необхідно розрахувати середню похибку прогнозу.

Вона зростає з віддаленням прогнозного значення від відповідного середнього значення вибірки.

Розрахуємо спочатку дисперсію прогнозу.

У матричному вигляді дисперсія похибки прогнозу подається так:

.

Середньоквадратична похибка прогнозу

Довірчий інтервал для прогнозних значень

де t_ — критичне значення t-критерію при n – m ступенях свободи і рівні значущості .

Зауважимо, що є точковою оцінкою як математичного сподівання прогнозного значення , так і його індивідуального значення для відповідних незалежних змінних , що лежить за межами базового періоду.

Для визначення інтервального прогнозу індивідуального значення необхідно знайти відповідну стандартну похибку:

Отже, інтервальний прогноз індивідуального значення визначається як

або

38. Розрахунок довірчих інтервалів для оцінок параметрів із заданою надійністю.

Розрахунок довірчих інтервалів для оцінок параметрів , та із заданою надійністю

Довірчі інтервали для коефіцієнтів регресії визначаються за формулою:

,

де – задана надійність; – табличне значення.

38. Розрахунок прогнозного значення регресанду та побудова для нього із заданим рівнем значущості довірчих інтервалів.

Розрахунок прогнозного значення та побудова для нього із заданим рівнем значущості довірчих інтервалів

1. Задамо вектор прогнозних значень незалежних змінних

2. Розрахуємо точкове прогнозне значення: .

3. Довірчі інтервали прогнозу визначаються як:

де – стандартна похибка прогнозу,

визначимо за формулою

40.Специфікація моделі.

Специфікація моделі — це аналітична форма економетричної моделі. Вона складається з певного виду функції чи функцій, що використовуються для побудови моделей, має ймовірнісні характеристики, які притаманні стохастичним залишкам моделі. З досвіду економетричних досліджень, а також на підставі якісного теоретичного аналізу взаємозв’язків між економічними показниками можна навести клас функцій, які можуть описувати ці взаємозв’язки:

1) лінійна функція: