Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

двумерными объектами: дискретизация проекционных данных производится по углу (ракурсу) и по проекции при каждом угле.

Эффект наложения по ракурсам данных возникает в том случае, когда угловая дискретизация недостаточна для покрытия угловых гармоник объекта. Единственное видимое решение здесь – использовать большее число ракурсов.

Эффект наложения проекционных данных возникает главным образом из-за использования решеток (блоков) детекторов, состоящих из множества единичных детекторов.

В томографах первого поколения информация о проекции получалась посредством сканирования объекта одним детектором:

где P(x) – получаемая при сканировании оценка проекционного

сигнала; S(l) – аппаратная функция детектора; D – диаметр исследуемого объекта; звездочка * означает операцию свертки.

Следовательно, преобразование проекции объекта подвергается низкочастотной фильтрации за счет умножения на фурье-образ ап-

паратной функции детектора S (ν) . Последнее выражение в фурьеобласти можно записать, основываясь на фурье-представлении свертки, как P(ν) = S (ν) P(ν) , где P(ν), S (ν), P (ν) – фурье-

образы соответствующих функций выражения (2.70).

Если для устранения наложения необходима дополнительная низкочастотная фильтрация, то можно использовать дополнитель-

ный низкочастотный фильтр W (ν) .

Поскольку любую требуемую фильтрацию для томографа с одним детектором можно осуществить до дискретизации, тем самым можно устранить ошибки, обусловленные наложением низкочастотных составляющих измеряемого с детектора сигнала.

В томографах третьего поколения, с веерной геометрией пучка излучения, используют решетку единичных детекторов, с помощью которой сразу получают все данные о полной проекции. В этом

случае оценка проекции P(l ) будет равна

136

где, как и раньше, S (l ) – аппаратная функция единичного детектора; d – расстояние между детекторами; Ш(x) – гребенка дель- та-функций, определяемая выражением

N

Ш(x) = ∑δ(x − n) ,

n=1

где N – количество единичных детекторов.

Взяв преобразование Фурье от выборочной оценки (2.71), полу-

т. е. решетку частично перекрывающихся спектров.

Здесь в отличие от случая единичного детектора, как это происходит в томографе первого поколения, отсутствует реальная возможность низкочастотной фильтрации, служащей для устранения перекрытия или наложения.

Минимальное перекрытие для максимально широкой аппаратной функции S(l) соответствует детектору шириной d ; эти величины связаны соотношением

где прямоугольная функция rect(.) равна 1 на интервале ±12 и 0 вне его.

Результирующее преобразование S (ν) равно d sin (d ν) и имеет первый нуль на частоте ν = ±1d , а в области высоких частот падает как 1π ν . Поскольку этот спектр повторяется с периодом 1d , результирующие спектры значительно перекрываются. На рис. 2.18 показан спектр оценки P(l ) для объекта исследований в виде широкой «белой» полосы.

137

P (ν)

ν

1/d 2/d

Рис. 2.18. Спектр сигнала на выходе решетки из единичных детекторов

Как уже отмечалось выше, низкочастотный фильтр, который устранил бы имеющееся наложение, в данном случае отсутствует.

Интересный подход к решению этой проблемы основан на применении «смещенных» решеток детекторов, используемых в сканерах с вращающимся веерным пучком [3]. Решетка детекторов сконструирована здесь таким образом, что после поворота на 180° все детекторы сдвигаются относительно объекта на половину ширины детектора. Тем самым, эффективный интервал дискретизации уменьшается вдвое, т. е. становится равным d2 . Составляющие

результирующего спектра повторяются теперь с периодом 2d , а составляющие ±1d устраняются. Таким образом, расстояние ме-

жду центральными частями отдельных спектральных составляющих увеличивается вдвое, что приводит к значительному уменьшению эффектов перекрытия и наложения.

Отсутствие данных о проекциях. В ряде случаев набор дис-

кретизованных данных о проекциях может оказаться неполным. Например, наличие сильно поглощающего объекта может привести к потере части проекций. Точно так же в ряде случаев может оказаться, что объект можно «просветить» с ограниченного малого числа ракурсов. В подобных случаях приходится выполнять реконструкцию по неполным данным. Восстановление изображения по неполным данным требует знания априорной информации о симметрии плотностного и пространственного расположения локаль-

138

ных частей исследуемого объекта для доопределения необходимого набора проекционных данных.

Вопросы малоракурсной томографии и алгоритмов восстановления по неполным проекционным данным более подробно рассматриваются в гл. 6.

2.3.Математические проблемы получения томографического изображения

2.3.1. Постановка задачи

Проблема восстановления структуры многомерного объекта по совокупности его проекций возникла давно [3]. И в настоящее время имеется много методов ее решения. Из всего имеющегося многообразия методов для восстановления изображения можно выделить методы, которые получили наибольшее распространение и сыграли важную роль в развитии реконструктивной компьютерной томографии. Эти методы можно разделить на два основных класса: аналитические и итерационные.

Аналитические методы основаны на точных математических решениях уравнений восстановления изображения. В основе большинства из них используется аппарат преобразования Радона и преобразования Фурье. В связи с этим их можно разделить на две основные группы: обратная проекция с фильтрацией и двумерное восстановление Фурье. При этом методы обратной проекции с фильтрацией имеют три варианта, отличающиеся различными способами фильтрации: радоновская фильтрация, фильтрация Фурье и фильтрация сверткой.

Итерационные методы восстановления изображения используют аппроксимацию восстанавливаемого объекта массивом ячеек равномерной плотности (равномерного μ ), представляющих собой

неизвестные величины линейных алгебраических уравнений, свободными членами которых являются проекции. Решаются системы уравнений итерационными методами, что и дало название данному классу методов восстановления.

139

С математической точки зрения основную задачу реконструктивной томографии, а именно: восстановление изображения по проекциям, можно рассматривать просто, как восстановление некоторой функции в двумерном R2 или трехмерном R3 пространстве по известным значениям интегралов вдоль определенных линий или плоскостей.

В проблеме восстановления функции можно выделить три аспекта. Во-первых, необходимо найти, в какой мере исследуемый объект описывается имеющимися исходными проекционными данными. Во-вторых, необходимо знать, насколько процесс восстановления устойчив относительно погрешностей этих исходных данных. И, в-третьих, необходимо разработать сам алгоритм восстановления изображения.

Первые два аспекта рассматриваются в этой главе, последний – в гл. 3.

2.3.2. Преобразование Радона и формулы обращения

В общем виде преобразование Радона формулируется следующим образом. Пусть в n-мерном пространстве Rn – задана бесконечно дифференцируемая функция f (x) = f (x1,..., xn ) . Так как для практических целей можно рассматривать функцию f (x) , опреде-

будет быстро убывать вместе со всеми своими производными. Будем

считать, что пространство Rn ориентировано, и элемент объема в этом пространстве задается дифференциальной формулой

dx = dx1...dxn . Интегрируя функцию f (x) вдоль произвольных гиперплоскостей (ξ, x) = l , где (ξ, x) = ξ1 x1 + ξ2 x2 +... + ξn xn , получим значения интеграла P(ξ,l ) как функцию этих гиперплоскостей. Элемент объема гиперплоскости (ξ, x) = l зададим с помощью дифференциальной формы ω, которая определяется из соотношения

140