Материал: Спецглавы высшей математики. численные методы. Пантелеев И.Н

Решив систему (VII.8) относительно параметров а, b, с, получаем конкретный вид функции F(x,a,b,c). Изменение количества параметров не приведет к изменению сути самого подхода, а выразится в изменении количества уравнений в системе (VII.8).

i

в соответствии с принципом наименьших квадратов для заданного вида приближающей функции должна быть наименьшей.

Из двух разных приближений одной и той же табличной функции лучшим считается то, для которого (VII.10) имеет наименьшее значение.

7.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратичного трехчлена

Составляем систему вида (VII.8)

yi axi b xi 0 ,

yi axi b 0 .

Примечание.

Здесь и далее сумма берется по переменной i=1,2,... ,n. Имеем:

xi yi a xi2 b xi 0 ,

(VII.13)

yi a x i2 bn 0 .

Разделив каждое уравнение (VII.13) на п, получаем:

Введем обозначения:

Тогда последняя система будет иметь вид:

M x 2 a M x b M x y , M x 2 a b M y .

159

Разделив каждое уравнение на n и перенеся члены, не содержащие неизвестные параметры в правую часть, получаем:

Решив систему (VII.16) относительно неизвестных a, b, с, находим значения параметров приближающей функции. Пример VII.1. Даны табличные значения линейной зависимости вида у = 0.2x, каждому из которых добавлены случайные числа, имеющие равномерный закон распределения на интервале [-0.1, 0.2]. Найти коэффициенты линейной и квадратичной аппроксимирующих функций.

Решение:

%задание исходных данных

»N=10;

»i=l:N;

»Xmin=0;

»Xmax=10;

»x(i)=Xmin+(Xmax-Xmin)/(N-l)*(i-l);

»у(i)=0.2*x(i); % точные значения функции

%заданиешумасравномернымзакономраспределенияна

%отрезке[b,а]

»а=0.2

»b=-0.1;

»Yrnd=b+(a-b)*rand(N,1);

»yl=y+Yrnd'; % создание зашумленных данных

»plot(x,y,x,yl,'о'); % визуализацияточнойизашумленной

%последовательностей(рис. VII.2)

161

2

1,5

1

0,5

0

Рис.VII.2.Исходныеданныеиточнаязависимость у=0.2х

%вычислениеэлементовматрицыМв(VII.14) » tmp=x(i).^2;

» M(l,l)=l/N*sum(tmp); » M(l,2)=l/N*sum(x); » М(2,1)=М(1,2);

» M(2,2)=l;

%вычислениеэлементоввектораd

»d(l,l)=l/N*dot(x,yl);

»d(2,l)=l/N*sum(yl);

% решение системы линейных уравнений (VII.14) » Coeff=A^-l*d;

Coeff =

0.1941

0.0993

» F=inline('a*x+b','a','b','x');

%задание аппроксимирующей функции

»tmpl(i)=feval(F,Coeff(1,1),Coeff(2,1),x(i));

%вычисление значений

%аппроксимирующей

%функции

162

%вычисление суммы квадратов отклонений

%при линейной аппроксимации

»tmp=tmpl-yl;

»dot(trap, tmp) ans =

0.0685 % аппроксимация исходных данных полиномом

% второй степени задание матрицы системы % линейных уравнений в (VII.16)

»A(l,l)=l/N*sum(x.^4);

»А(1,2)=1/N*sum(х.^3);

»A(l,3)=l/N*sum(x.^2);

»А(2,1)=А(1,2);

»А(2,2)=А(1,3);

»A(2,3)=l/N*sum(x);

»А(3,1)=А(2,2);

»А(3,2)=А(2,3);

»А(3,3)=1;

%задание вектора столбца свободных членов

» d(l,l)=l/N*dot(x.^2,yl); » d(2,l)=l/N*dot(x,yl);

» d(3,l)=l/N*sum(yl) ;

%решение системы линейных уравнений(VII.16) » Coeff=A^-l*d

Coeff = 0.0004 0.1904 0.1049

» F=inline('а*х.^2+Ь*х+с','а','b','с','х'); %задание аппроксимирующей функции, вычисление

%суммы квадратов отклонений при квадратичной

%интерполяции

»tmp2(i)=feval(F,Coeff(1,1).Coeff(2,1), Coeff(3,1),x(i));

»tmp=tmp2-yl; dot(tmp,tmp)

163

ans = 0.0687

Найти решение рассмотренной ранее задачи в пакете MATLAB можно другим способом. Для этого следует использовать тот факт, что коэффициенты искомой функции, минимизирующей сумму квадратов отклонений, являются решением переопределенной системы уравнений. Для случая интерполяции полиномом второй степени данных, приведенных ранее, система уравнений имеет вид:

Решение данной системы уравнений, удовлетворяющее методу наименьших квадратов, находится с помощью оператора \:

Таким образом, альтернативный подход к нахождению коэффициентов аппроксимирующего полинома реализуется выполнением следующей последовательности команд:

» В=[ones(size(x')) х' х'.^2]

В =

164

1.0000 1.1111 1.2346

1.0000 2.2222 4.9383

1.0000 3.3333 11.1111

1.0000 4.4444 19.7531

1.0000 5.5556 30.8642

1.0000 6.6667 44.4444

1.0000 7.7778 60.4938

1.0000 8.8889 79.0123

1.0000 10.0000 100.0000 » Coeff=B\yl

ans = 0.1049 0.1904 0.0004

Линейную комбинацию известных функций пакета MATLAB можно применять с целью решения системы линейных уравнений методом наименьших квадратов с использованием аппроксимации. Для этого можно использовать описанный в предыдущем разделе метод.

Пример VII. 2. Используя метод наименьших квадратов, найти коэффициенты функции F(x, a, b, c) = a·x2 + b·x + c·1/(x + 1),

аппроксимирующей данные, представленные в табл. VII. 2. Таблица 7. 2

Исходные данные примера 7. 2

Решение:

% Задание исходных данных

» vx=[0;0.2;0.4;0.6;0.8;l] vx =

0

0.2000

165

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

»vy=[0.43;0.22;0.8;0.12;l;2] vy =

0.4300

0.2200

0.8000

0.1200

1.0000

2.0000 % задание матрицы переопределенной системы уравнений

»D=[vx.^2 vx l./(vx+l)]

»D

D =

»Coeff=D\vy Coeff =

3.0521 -1.4391 0.5126

% визуализация исходных данных и % аппроксимирующей функции

»i=l:length(vx);

»j=l:length(X);

»X=vx(l):0.01:VX(6);

»Y=[ones(size(X')) X' X'.^2]*Coeff; % вычисление значений

166

%аппроксимирующей

%функции

» plot(vx(i),vy(i),'о',X(j),Y(j))

%визуализация исходных данных и

%аппроксимирующей функции рис. VII.3;

2

1,8

1,6

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

7.3. Аппроксимация функцией произвольного вида

Для решения задачи обобщенной нелинейной регрессии в пакете MATLAB имеется функция lsqnonlin( ), возвращающая решение задачи нахождения точки минимума функции f(x):

167