Материал: Спецглавы высшей математики. численные методы. Пантелеев И.Н

Известны различные уточнения метода Эйлера. Модификации

методе Эйлера-Коши используют следующий порядок вычислений:

Геометрически это означает, что определяется направление интегральной кривой в исходной точке xi , yi и во

вспомогательной точке, xi 1 , yi 1 а в качестве окончательного

методами Эйлера и Эйлера-Коши. 1. Метод Эйлера.

• Создайте файл Euler.m (листинг VIII.1), содержащий описание функции, возвращающей решение дифференциального уравнения методом Эйлера.

Листинг VIII.1. Файл Euler_g9.m function [X,Y]=Euler_g9(y0,x0,xl,N) dx=(xl-x0)/N;

х(1)=х0; у(1)=у0; for i=l:N

x(i+l)=x(l)+dx*i;

y(i+l)=y(i)+dx*F9(x(i));

end;

X=x;

Y=y;

function z=F9(x) z=x.^2;

»у0=1.3; % начальное условие

»N=50; % число узлов разбиения отрезка интегрирования

»[X Y]=Euler_g9(y0,x0,xl,N); % нахождение численного

% решения задачи Коши

»i=l:length(X);

»Z(i)=yO+l/3*X(i).^3; % вычисление значений точного решения

179

»plot(X,Z,X,Y,':') % визуализация численного и точного решений

% (рис. VIII.2)

»plot(X,abs(Z-Y)) % визуализация разности между численным % и точным решениями ДУ (рис. VIII.3)

1,4

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

2. Метод Эйлера-Коши.

• Создайте файл EulerKoshi.m (листинг VIII.2), содержащий описание функции, возвращающей решение дифференциального уравнения методом Эйлера-Коши.

Листинг_ VIII.2. Файл EulerKoshi.m function [X,Y]=EulerKoshi(y0,x0,xl,N) dx=(xl-x0)/N;

x( l)=x0; y( l)=y0; for i=2:N

x(i)=x(l)+dx*(i-l); Z=y(i-l)+dx*F9(x(i-l) ,y(i-l)) ;

180

y(i)=y(i-l)+(F9(x(i-l),y(i-l))+F9(x(i),Z))*dx/2; end;

X=x;

Y=y;

function z=F9(x,y); z=x.^2;

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Рис. VIII.4. Визуализация точного и численного решений задачи Коши дифференциального уравнения dydx x2 , y 0 1,3

методом Эйлера-Коши

• Выполните следующую последовательность команд:

»х0=0;%левая граница отрезка интегрирования

»xl=5;%правая граница отрезка интегрирования

»уО=1.3; % начальное условие

»N=50;% число узлов разбиения отрезка

% интегрирования

»Z(i)=y0+l/3*X(i).^3;

%вычисление значений точного решения

»plot(X,Z,X,Y,':')

%визуализация точного и численного решений

%(рис. VIII.4)

»plot(X,abs(Z-Y))

%визуализация разности между численным и

%точным решениями ДУ (рис. VIII.5)

x10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Рис. VIII.5. Разность между точным решением задачи Коши дифференциального уравнения dydx x2 , y 0 1,3 и численным решением, полученным методом Эйлера-Коши

Из сравнения рис. VIII.3, VIII.5 видно, что погрешность, как и ожидалось, уменьшилась в 102 раз (h = 0.1).

8.4. Метод Рунге-Кутта

Метод Эйлера и метод Эйлера-Коши относятся к семейству методов Рунге-Кутта. Для построения данных методов можно использовать следующий общий подход. Фиксируем

где 0 < θ < 1.

При q = 1 будем иметь:

183

h y x h y x p1 h f x, y ,

0 0,

0 y x h p1 f x, y h 0 ,

h y x h .

Ясно, что равенство 0 0 выполняется для любых функций f x, y лишь при условии, что р1 =1. При данном

значении р1 из формулы (VIII.28) получаются формулы (VIII.24), (VIII.25) метода Эйлера. Погрешность данного метода на шаге согласно (VIII.29) равна

h x h h2 . 2

Рассмотрим случай q = 2 , тогда

h y x h y x p1hf x, y p2hf x, y ,

Согласно исходному дифференциальному уравнению y f ,

y f x dfdy dydx f x f y f x, y ,

184

будет выполняться для всех f x, y только в том случае, если

одновременно справедливы следующие три равенства относительно четырех параметров:

Задавая произвольно значения одного из параметров и определяя значения остальных параметров из системы (VIII.32), можно получать различные методы Рунге-Кутта с порядком

Для выбранных значений параметров формула (VIII.28) приобретает следующий вид:

помощью у*i+1 обозначено выражение yi h f xi , yi .

Таким образом, для рассматриваемого случая приходим к расчетным формулам (VIII.27) метода Эйлера-Коши. Из (VIII.29) следует, что главная часть погрешности на шаге есть

185

0 h3 / 6,

т. е. погрешность пропорциональна третьей степени шага.

На практике наиболее часто используют метод Рунге-Кутта с q 4, s 4

Погрешность рассматриваемого метода Рунге-Кутта на шаге пропорциональна пятой степени шага.

Геометрический смысл использования метода Рунге-Кутта с

усредняются в соответствие с (VIII.33). На этом окончательном направлении и выбирается очередная точка

xi 1 , yi 1 xi h, yi y

Пример VIII.2. Найти решение задачи Коши дифференциального уравнения

dydx x2 , y 0 1.3

методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

1. Создайте файл RungeKutt4.m (листинг VIII.3),

содержащий описание функции, возвращающей решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

Листинг VIII.3. Файл RungeKutt4,m function [X,У]=RungeKutt4(y0,x0,xl,N) dx=(xl-x0)/N;

x(l)=x0; У(1)=У0; for i=2:N

x(i)=x(l)+dx*(i-l); kl=dx*F9(x(i-l),y(i-l)); k2=dx*F9(x(i-l)+dx/2,y(i-l)+kl/2);