Дипломная (вкр): Страховое покрытие денежных остатков и запасов товаров в торговых точках ритейловой компании

модель страховой ритейловый денежный товар

Глава 3. Эконометрическое моделирование и прогнозирование страхового покрытия остатков денежных средств в торговых точках

.1 Исследование временного ряда остатков денежных средств

Данная глава посвящена анализу и моделированию временных рядов остатков денежных средств в торговых точках. Изучаемый набор данных содержит 466 торговых точек, торговые точки с большим числом пропусков были исключены, как и в случае с временными рядами запасов товаров. Временной ряд представляет собой 1401 дневное наблюдение в период с 1 января 2013 года по 1 ноября 2016 года.

Основным отличием данных временных рядов является наличие большого числа выбросов. Данные выбросы связаны с сезонным увеличением спроса и аномально высокими продажами в праздничные дни.

Поведение всех точек, независимо от среднего значения, похоже и имеет приблизительно одинаковые характеристики, поэтому далее описание данных будет происходить на примере торговой точки 1948 (рис. 18).

Рис. 18. Временной ряд торговой точки 1948, 2013-2016 гг.

На графике (рис. 18) временного ряда можно видеть множество пиков, которые значительно изменяют среднее значение денежных средств в данной точке. Можно видеть аномально высокие продажи в летние месяцы и предновогоднее время. Чтобы проанализировать основные периоды аномальных значений остатков денежных средств, был построен график, отражающий число точек с выбросами в каждый день наблюдения.

Рис. 19. Число торговых точек, в которых наблюдаются выбросы в конкретную дату

На графике (рис. 19) изображены даты, в которые выбросы происходили более чем в 14 точках. В 2013 году выбросы наблюдались в конце июля и перед новогодними праздниками в феврале. В 2014 году среднее число выбросов во все дни выросло по сравнению с 2013 годом. В 2015 в течение всего года число выбросов оставалось на невысоком уровне, однако перед Новым годом, продажи резко возросли практически в 20% точек. Основным отличием 2016 года является наличие множества аномалий в весенние месяцы. Группы точек отличаются как по количеству выбросов, так и по дням, следовательно, данные признаки необходимо включить в характеристики кластеризации точек.

Гистограмма остатков денежных средств имеет форму, подобную плотности логнормального распределения с длинным правым хвостом, который появился в результате наличия выбросов с высоким значением денежных средств. Если среднее значение ряда равно 134 тысячам, то выбросы в конце хвоста превосходят миллион рублей.

Рис. 20. Гистограмма остатков денежных средств в торговой точке 1948

Рассмотрим также распределение средних значений временных рядов на гистограмме (рис. 21).

Рис. 21. Гистограмма средних значений временных рядов во всех торговых точках

Средние временных рядов, как и множество денежных величин, распределены предположительно логнормально. Около 80% средних всех точек лежит в промежутке от 24 до 246 тысяч рублей. Однако есть и точки со средним значением больше миллиона рублей. Так как алгоритм кластеризации k-средних очень чувствителен к выбросам, денежные величины были прологарифмированы.

Рис. 22. Гистограмма логарифма среднего значения денежных средств в торговых точках

Распределение логарифмированных значений близко к нормальному закону распределения. Тест Жарка-Бера подтверждает гипотезу о нормальном законе распределения (J-B = 1,23, prob = 0,54).

Таким образом, для кластеризации остатков денежных средств должны быть использованы характеристики логарифмированных величин, а также величины, характеризующие число и даты выбросов.

.2 Объединение торговых точек со схожими характеристиками остатков денежных средств в группы

Как и в случае с запасами товаров в точках, кластеризация на основе данных о денежных средствах производится с помощью метода k-средних. На первом этапе вся совокупность точек будет разбита на несколько больших однородных классов с учетом количества выбросов. Далее каждый из классов будет разбит на подклассы в зависимости от того, в какие дни выбросы в точках происходили.

Первоначальное разбиение на классы было произведено на основе следующих признаков:

.   Число выбросов в точке

2.       Среднее значение остатка денежных средств

.        Стандартное отклонение

.        Максимальный размах между соседними наблюдениями

.        Среднее первой разности

.        Стандартное отклонение первой разности

Как упоминалось ранее, для классификации точек по остаткам денежных средств необходимо учитывать выбросы. Так как в дальнейшем временные ряды точек одного кластера будут усреднены, очень важно, чтобы в группе находились точки с одинаковым поведением и аномальными наблюдениями в одни и те же дни. Для кластерного анализа были взяты данные по выбросам в точке в следующие даты, где общее число аномальных наблюдений больше 30:

.   2,3,4 июля; 17,26,30,31 декабря 2014 года

2.       1 января; 30,31 декабря 2015 года

.        1 января; 3 марта; 4 апреля 2016 года

Данные точки невозможно кластеризовать графически, так как число характеристик для кластеризации велико. Поэтому для разбиения на группы применялся кластерный анализ, метод k-средних. Для определения числа кластеров, прежде всего, необходимо провести графический анализ двумерной гистограммы.

Рис. 23. Двумерная гистограмма разброса точек для среднего и числа выбросов остатков денежных средств

Также выделяются области с желтыми и зелеными частотами. Однако, данный метод не позволяет точно определить количество кластеров, так как отражает разбиение только по двум переменным. Поэтому был проведен иерархический кластерный анализ и построена дендрограмма с использованием метода Варда.

Рис. 24. Дендрограмма классификации торговых точек по остаткам денежных средств и их характеристикам

На дендрограмме (рис. 24) отчетливо выделяются четыре кластера практически равного размера для расстояния, равного 300. Таким образом, в кластеризации методом k-средних задано 4 кластера.

Рис. 25. Точечная диаграмма разбиения точек с остатками денежных средств на четыре кластера

Так как для классификации точек в однородные группы использовалось множество факторов, на точечной диаграмме (рис. 25) трудно описать различия кластеров и определить принадлежность точек. Можно сказать только, что синий кластер имеет наибольшие значения стандартного отклонения, а зеленый кластер наименьшие средние (рис. 26). Для понимания различий между кластерами необходимо рассмотреть значения всех характеристик в каждой группе.

Рис. 26. Остатки денежных средств с выбросами в торговых точках в четырех кластерах

Можно видеть (табл. 10), что кластеры имеют примерно одинаковые средние значения, однако отличаются по количеству выбросов, максимальному размаху между соседними наблюдениями, среднему первой разности и стандартному отклонению первой разности. Синий кластер имеет значительно больший максимальный размах, чем другие. Наибольшее количество выбросов содержится в зеленом кластере.

Также необходимо определить, в какие дни в каждом кластере происходят выбросы. В черном и красном кластере превалирует только одна дата. В данных группах выбросы происходят в конце декабря 2014 года. Зеленый и синий кластер включают большее число дат с аномалиями.

Таблица 10

Характеристики кластеров по остаткам денежных средств в торговых точках

Таблица 11

Даты с аномальными наблюдениями, характерные для каждого кластера

Для проверки значимости различий между кластерами был проведен дисперсионный анализ. Дисперсия между кластерами объясняет 72% общей дисперсии. Данное разделение на кластеры значимо, F-статистика = 392 (probability = 0,001).

Таблица 12

Дисперсионный анализ разбиения денежных средств на четыре кластера

Таким образом, было получено 4 кластера. Разбиение учитывает характеристики временного ряда, первой разности временного ряда и даты, в которые в точках происходят пики продаж. Дисперсионный анализ доказал значимость разделения.

3.3 Моделирование и прогнозирование временных рядов остатков денежных средств в группах торговых точек

Как говорилось в предыдущих разделах, отличительной особенностью данных временных рядов является наличие аномальных наблюдений в летние месяцы и праздничные дни. Существует два способа моделирования временных рядов с подобными характеристиками:

.   Исключение выбросов из временного ряда и прогнозирование с помощью более простых временных моделей. Данный метод в дальнейшем предполагает отдельное страхование аномальных дней. Это может быть выгодно с точки зрения экономии страховых премий.

2.       Прогнозирование временных рядов с выбросами с использованием сложных, смешанных моделей. Это позволяет страховать подобные риски без заключения дополнительных соглашений на страхование выбросов.

Оба метода интересны ритейловой компании, так как каждый из них обладает своими преимуществами и может быть рассмотрен в процессе заключения договора страхования. Интересным является вариант страхования точек кластеров с малым значением выбросов по первой схеме, а с большим числом - по второй.

3.3.1 Прогнозирование временных рядов остатков денежных средств без выбросов с помощью моделей ARFIMA

Для построения моделей данной главы из каждого кластера были исключены дни с большим количеством точек, в которых в это время происходили выбросы. Полученные временные ряды представлены на графике (рис. 27).

Рис. 27. Временные ряды остатков денежных средств четырех кластеров

Можно видеть, что даже после удаления типичных дней с аномальными продажами, ряды имеют множество пиков. Видно, что ряды имеют схожие характеристики: различная волатильность, восходящие и нисходящие тренды. Поэтому предварительный анализ перед построением модели будет проведен на примере синего кластера.

Рис. 28. Гистограмма средних остатков денежных средств в торговых точках синего кластера

Распределение данного кластера, хоть и напоминает по форме кривую Гаусса, но сильно отличается от нормального распределения. Также гистограмма показывает наличие тяжелых хвостов: частоты имеют высокое значение на большинстве интервалов. Подобное поведение данных указывает на возможность применения ARCH/GARCH и ARFIMA моделей. Для проверки этого предположения необходимо также рассмотреть коррелограмму.

Рис. 29. Коррелограмма временного ряда синего кластера

На коррелограмме видно, что все автокорреляции имеют высокие положительные значения и значимы не менее чем на 15 лагах. Кроме того, корреляции не убывают с гиперболической скоростью, а имеют синусоидальные колебания. На лагах, кратных семи, корреляции резко возрастают. Данные признаки говорят о наличии длинной памяти во временном ряду. Процессы с длинной памятью прогнозируются с помощью модели ARFIMA.

На периодограмме также наблюдается недельная сезонность. Наибольшее значение логарифм периодограммы принимает на частоте 0,02 .

Рис. 30. Периодограмма временного ряда синего кластера

Как уже было отмечено в 1 главе, процесс ARFIMA достаточно трудно отличить от обычных I(1) c помощью тестов малой мощности, Дики-Фуллера и Филипса-Перрона, а тест KPSS состоятелен при стационарных процессах с длинной памятью, но необходимо большое количество наблюдений. Поэтому наиболее надежным является использование R/S анализа. Проведем R/S анализ и найдем экспоненту Херста Н - меру, используемую для анализа процессов с длинной памятью:

.   H>0.5 процесс персистентен (монотонно следующий вдоль детерминированного тренда) и имеет положительную автокорреляцию- сохраняет имеющуюся тенденцию.

2.       H=0.5 - тенденции не выражено.

.        H<0.5 процесс характеризуется антиперсистентностью и отрицательной автокорреляцией-любая тенденция стремится смениться противоположной.