вия, которые способствовали бы автоматическому сохранению неиз менности его объема подле Истпнем приложенной внешней, нагрузки.
Условие несжимаемости для произвольного элементарного объ ема о вкле прямоугольного параллелепипеда со сторонами /г , {л можно записать в виде
~ = щ -[(1с+д/.)(1„ + д д а + д д - иш = о, (л)
где Д/г>Д/у, АГ, — абсолютные удлинения соответствующих сторон мезоэлемеита.
Оставаясь в рамках теории малых упругих деформаций, т. е, отбрасывая п (31) члены вто]х>го порядка малости и бышс, а так же учитывая, что относительные удлинения (деформации) сторон параллелепипеда определяются как ех = €ч = Д/у//у и с, - ДГ,/^л, условие несжимаемости меэоэлсмента можно преобра зовать к виду
е* + *у 4- ех = 0 . |
(32) |
В трехмерном случае при нагружении махроизотронпого тела вдоль оси у (т. е. если задано лу ) из (32) следует, что
бц |
— |
— —0 ,5су, |
|
Д 'г |
= |
-0 ,5 Д (, 1г/1у , |
(33) |
Д I, |
= |
-0 ,5 Д 1 ,!,//,. . |
|
Б случае, когда тело находится в условиях обобщенной плоско» деформации (с, = сопя!.) и растягивается вдоль оси у,
« * = -(« » + (:,) .
В частности, если ея = 0, то можно записать
ет |
— |
“ ^ 1 |
| |
|
|
|
(34) |
д^х |
= |
- ы г г ,/ь . |
) |
В отображающей реальную композитную структуру стсрзкнепой системе выделим некоторый представительный меэоэлемент и ви
де прямоугольного параллелепипеда со сторонами /*, |
и [ж, огра |
||||
ниченными координатными П Л О СКО СТЯ М И |
Х \ = С0Ц$1, Я? |
= |
СОПЙ, |
||
= СОПЗ*, |
(/2 |
= СОП&1, 2 \ — СОП$Ь, 2 2 = |
СОПНС. НрИЧОМ X I |
< Г2, |
|
!П < У 2, 2Г| < |
22 |
(см. рис. 4). |
|
|
|
Если одну грань данной системы уг = Сопя1 закрепить ксподоизк- |
|||||
но, а противоположную сП сторону (2/1 = |
сош»1) сместить вниз на |
||||
величину иу = |
Д/у| то о структуре позпнкнет макро однородное по |
||||
ле растягнпающнх деформаций су = Д/5//у. Чтобы при этом объем мезоэлемента не нзменплен, стороны Гг и ^ должны и соотиетстпии с (33) уменьшиться на величины Д/г н Д /,.
Т ак как в общем случае мы имеем дело со случайными струк турами, то ДЛЯ достаточно надежного задании граничных условий (в перемещениях) у поверхности элемента следует выделить опреде ленные области в виде слоев с толщиной порядка одного-двух харак терных размеров СЭ к считать все попавшие туда узлы стержневой
системы граничными. |
|
Д ля 1-го узла с координатами г', у', |
г*, попавшего в один ю |
слоев 6у (лежащих около плоскостей у^ = |
сопзЬ или 1/а = сопз!), в |
качестве граничного условия задавалось перемещение вдоль оси у, пропорциональное его удаленное»! ог верхней неподвижной грани мезоэлемента
4 = Су^- Уз ) (ЗБ)
В случае, если х-й граничный узел оказался в одном из боковых слое» 6Ж(лежащих около плоскостей Д] = сопб4 или ха = соле!) или Ьл (около г\ = солвЬ или 23 = содзЬ), ему навязывалисьпср смещения вдоль осей х или г по формулам (37) или (39) соответственно:
< = |
-0,5с,(г‘ -щ ) , |
(36) |
“1 * |
- 0 , 5 с , ( / - г о) 1 |
(37) |
где х0 = (®! + *г)/2, х0 = (*) + ха)/2 — координаты оси симметрии мезоэлемепта, параллельной у. Перемещения граничных элементов но другим направлениям (кроме заданных) считались свободными и определялись из решения краевой конечно-элементной задачи. Если же узел попадал одновременно в два клк три слоя, то ему навязы вались соответственно дпе или три заданных компоненты вектора перемещений.
13 плоском варианте модели боковых граней остается только две — Г] = сот1 и хз = сопаЬ и формула (36) принимает вид
“г = -е»(*'-*о) |
(38) |
При таких 1'ра1П!чиых условиях в системе будет наблгадатдея уже не одноосное, а слож»юнапряженное состояние, причем главные осп эффективных тензоров «г* и се будут направлены перпендикуляр но (раням мезоэлемепта. На этих площадках нс должно возникать сдвиговых напряжений и деформаций, н эффективный модуль Юнга композита Ес для объемного к двухмерного случаен (плоская дефор мация) можно определить по формулам (39) и (40) соответственно:
[*{, - о.ь(*5« + О ) . |
(30) |
: -р- К » - * « ] |
(40) |
Необходимые значения компонент эффективного тензора напря жений о‘х и асля определялись по той же методике, что и для <г|у (см. раздел 2.3), только в качестве неподвижной отсчет ной плоско сти брали сечешге, проходящее через параллельную у ось симметрия тела и перпендикулярное координате х или г соответственно.
О- К. /10]?Ц|ПУР|
Рис. 2 2 . Концентрационные золке наюсти эффект ниною модули: Юпгл дли эл«к- томерпых зернистых композитопсо случпЛиьш и регулирлым иополнешкм, рас- счптлппьге с учетом и без учета несжимаемости системы. 1 , 2 — случиИиыс структуры с заданной несжимаемостью н без нее; 3, Л — системы с регулярной
гсксагоштмюЛ решеткоЛ с заданноЛ несжимаемостью и без нес. Уаитрих*- оакиол обиастъ соответствует опытным данным Чонга дли монифрпк1и101ншх эластомерных композитов и концентрированных суслсизиЛ
На рис. 22 представлены модельные концентрационные лишенмости эффективного модуля Юнга Е с/Е т {Ет — модуль матрицы) для эластомерных зернистых композитов, рассчитанные с учетом и без учета несжимаемости материала на макроуровне. Как видно па графике, введение несжимаемости Блечет за собой определенное завышение значений эффективного модуля, что попытает точность предсказании Е с и способствует лучшему согласованию с опытными данными. Так, построенная дли несжимаемой системы концентра ционная кривая (1) п диапазоне <р примерно от 30 до 50% проходит практически посередине экспериментальной области, и то премя как кривая (2) лежит вблизи ес нижней границы. При более высоких на полнениях расчетные и опытные результаты начинают расходиться. Объяснений тому может быть мною, по главная причина, на ваш взгляд, заклЕОчается в том, что предельно допустимая концентра ция дисперсной фазы (рт ) л тех монофракциолпых системах, на ко торых были получены опытные результаты [57, 60], не превышала 60%. В нашем же случае предельная плотность случайной упаковки нз одинаковых сферических включении составляла примерно 04%.
Отсюда можно сделать вывод, что и тех реальных низких суспен зиях п композитных системах, с которыми имели дело эти экспе риментаторы, происходило образование микроагломератов из слип вшей между собой частиц. 13 результате система становилась плот но?!шопа иной (и соответственно предельно жестко!!:) при несколько исаыивх наполнениях. В пользу этого довода свидетельствуют и ис следования (27, 'Ю], показавшие, что □ рнде случаен, когда концен трация дисперсной фазы близка к предельной, п структуре могут образовываться не только агломераты, но и хаотично направлен ные цепочки из контактирующих частиц (как результат проявления определенных физико-химических процессов), как бы армирующие систему, что также приводит к увеличению сс общеИ жесткости.
Наследующем графике (рис. 23) приведены те же самые зависи мости, только по осп абсцисс отложено не просто наполнение р, а его 07ЛОШеине к предельно!! для данного случая концентрации *р/<р,п , доспнаемоП и плотно!! упаковке. Расхождение между модельным и результатами и опытными данными о это!! системе координат суще ственно меньше, да это и понятно, так как иелнчина <р/рт харак теризует, насколько данная структура близка к своему предельно наполненному состоянию или далека от него, т. с. (кос немко) на сколько велика в не!! доля контактирующих включений.
В случае композитных структур с регулярной гексагональной укладкой частиц наполнителя о матрице (данные зависимости пред ставлены штриховыми л пнними на рис. 22 н 23) картина качественно не изменилась. Кривые, рассчитанные с учетом несжимаемости си стемы, также лежат несколько выше (3), чем тс, что были получены исходя из традиционно)! схемы нагружения (4). О целом же при од них н тех же концентрациях регулярные структуры оказались более жесткими по сравнению с неупорядоченными системами. Особенно сильно этот эффект (для плотных упаковок расхождение в значе ниях модуля оказалось более чем в 10 раз) проявляется при напол нениях, близких к предельным, что можно объяснить следующим образом.
Н регулярно!! плотно!! упаковке все структурные элементы (со стоящие только из касающихся частиц) обладают одинаково)! и очень высоко!! жесткостью, близкой к значениям, характерным для материала наполнителя. При мпхроиагружешш таких однородных