пых интегральных уравнений в данной главе выполнены С. К. Ле бедевым, Вычисления с помощью сферических функций проделаны 0. [С. Гаришиным. Решение задач с помощью теории функции ком плексного переменного осуществлено С. Б. ЕиламлиепоН.
1. Область применения итерационного алгоритма
Основная идеи построения итерационного алгоритма впервые вы сказана Смолухопским в 1011 г. [10] и развита Факсеном в 1925 г [9]. Известка она в литературе под названием "метода отражения" [7]. Областью применении алгоритма периодамалько были задами исслсцовышя медленного движения пяэкоН жидкости, содержащей N сфе рических жестких частиц, иод доИстинс.м внешних сил (б частости силы тяжести). Частицы считались находящимися достаточно близ кодруг от друга, так что имело место их гидродинамическое взаимолеПетонс. Предполагалось также, что частицы достаточно удалены отограничивающих жидкость стенок, так что окружающую их жид кость можно рассматривать как безграничную. Основное внимание сосредоточивалось преимущественно на ситуациях, когда жидкость покоилась на бесконечности. Решение получали аналитически с по мощьюсферических функций, что было, плиду отсутствия вычпел11- телыюИ техники, весьма трудоемкой задачей. В результате метод не получил должного распространения н о нем практически забыли.
В задачах теории упругости модифицированный вариант мето да стал использоваться значительно позже (и начале 80-х годов [6), [3]). И хотя с момента появления итерационного алгоритма до на ших дней прошло много десятилетий, все еще кет строгого доказа тельства сходимости итерационного процесса к искомому решению. Болес тот, установлено, что о ситуациях очень близкого располо жения части ц друг от друга итерационны II алтри гм становится расходящимся.
В/риос развитие вычислительных математических аппаратов для решения упругих задач (использование комплексных переменных о задачах теории упругости, граничных интегральных уравнений и 7. д.) позволило применять идею итерационного алгоритма с новыми ^тематическими аппаратами. Некоторые из них рассматриваются
в этой главе. Реализация главной идеи алгоритма не зависит от □яда зал иси полей напряжений. Важно только, чтобы можно было отдельно учитывать вклад от каждого элемента упругой системы. Остановимся на этом более подробно.
Итерационный метод предназначен дли решения задач п области малых деформаций. Пусть бесконечная упругая матрица (образо ванная Гуковым материалом) содержит конечное число полостсИ, абсолютно твердых включений и упругих частиц наполнителя (проч но нрнхлеенныя к связующему иля способных отслаиваться от пего). 11а удалении от ансамбля приложено однородное поле нагружения.
Используем для вычислений любой математический аппарат, по зволяющий в явном виде записывать однородное поле нагружения и возмущеиня от каждого из включений и полостей (автоматически удовлетворяющие уравнениям равновесия). Это может быть метол граничных интегральных уравнений, теория функций комплексного псрсмсшюго п двумерных задачах теории упругости, методы потен циалов и т.г1. Все они характеризуются следующим. Тензор на пряжений Т о любой точке связующего представляет собой сумму тензоров однородного поля Те* и возмущений Т , от каждого объекта в ансамбле (полости или частицы наполнителя):
1 ' — Тсо + |
, |
1=1
причем каждое из слагаемых Т » и Т* удовлетворяетуравнению равновесия материала:
V Тоо = О
= О
где N — общее число объектов в ансамбле; V — оператор градиента места; точкой между символами обозначена операция свертки тен зоров. В виде суммы представляются также нскторы перемещений:
Здесь символами обозначены: и — вектор перемещении л рассма триваемо!) точке матрицы; Но, — перемещения, соответствующие однорогому полю напряжений; п* — перемещения, соответствую щие 1-му возмущению.
Между векторами перемещении и тензорами напряжений суще ствует связь:
Т = Ци),
Тоо = Ь(Иоо) ,
т , = Ь (и ,).
в которой оператор Ь(...) определен выражелкем
Ь("0 = 0,5 А ^{(7 ...) + (7...)т ) - в | Б +
+ ,« { (? ...)+ (7...)т) ,
где А, д — коэффициенты Лямс бесконечного связующего (матри цы); В —единичный тензор; верхним индексом Т отмечена операция эракспониронания тензора. Кроме того, возмущения удовлетворя ют следующему условию: они быстро убывают нрк удалении от по верхности объекта (поры или частицы наполнителя), вызывающего их. Это известно из многочисленных аналитических решений задач структурной механики композитов.
Можно ожидать сходимость следующего итерационного процес са. Иа каждом шаге находим возмущение от 1-го объекта путем точ ного удовлетворения граничных условий на его поверхности. При пои полагаем, что возмущения ог других объектов уже известны. Вновь вычисленные эиачеиня *-го возмущения безусловно изменят ситуацию на других границах, но на меньшую величину по сравне ние) с »-Н поверхностью (за счет быстрого убывания возмущения при ХД&ЛС1П111 от рассматриваемого объекта). Повторяем эту операцию юслсдовагелыю, обходя по очереди вес поры и частицы наполните ля рассматриваемого ансамбля до тех нор, пока вновь вычисляемые
возмущсиия пе будут совпадать с найденными па предыдущем обхо де. Полученное таким образом решение м является искомым.
2.Общая схема алгоритма
Рассмотрим процедуру решения более подробно. Пусть лее объ екты ансамбля я иляютея упругими включениями, причем па границе контакта с бесконечной матрицей выполняются уелони я полного прилипания. Случаи с полостями и абсолютно твердыми частицами наполнителя принципиально ничем не отличаются. Только упроща ется формулировка соответствующих граничных условии. П дапиом разделе мы на них нс останавливаемся.
Обозначим символами ад|в^, Т -^ векторы перемещении и тензора напряжений возмущений 1-го объекта в связующем, вычисленных на н-И итерации, а символами и?, Т? — перемещении и напряжения непосредственно п г-м включении. В качестве отправных условий используем пулевые значения для всех возмущений:
|
|
»|л) |
= |
О, |
|
|
|
|
т{в) |
= |
о |
|
|
Естостиеип |
, что между величинами ч;"^ н |
выполняется связь |
||||
|
|
Т$л) = |
Ь(и|'°) . |
|
|
|
Каждая |
н-н итерация состоит нз N шагов {«=1, 2, 3, ...). |
Па |
||||
первом шаге в качестве возмущений от второго, третьего, |
, Лг- |
|||||
го включений используем поля перемещений и напряжений |
1 |
|||||
ИзП -,\ |
, |
н Т ^ “ ^ , Т^п“ ^, ... , Т ^ |
1*. Граничные условия |
|||
на поверхности первого включения 5| записываются в виде и „ + ,/,"> + и ^ - ^ н - 4 " - 0 + ...+
• ( Т е + **3т + т < " _ ,> + т ? - 1 ) + . . . |
+ |
+ ...+ Т 5; ' 0 ) = и. т \ , |
<2) |
|дспл — пнешияя нормаль к рассматриваемо!) поперхкости. В равен
ствах (1), (2) содержатся нсизпсстныс |
т ( л^ к и{, Т^. Находим |
их, удовлетворяя уравнениям (1 ), (2). |
|
На втором таге п качестве возмущении от первого, третьего, че
твертого, |
, Л-го включении используем тюля перемещений к на- |
|||
пряжениП а'">. ■ $ - » , и ' - 1)......... и ? \л\ |
Т ^ 11, .... |
|||
Граничные условия на поверхности второго включения |
||||
записываются и виде |
|
|
|
|
|
Осо + И |
+ <4"> + и(з,,- 1) +11<4',' 1) + ...+ |
|
|
|
|
+ _ .+ м 5; - ,и |
и ? , |
(з) |
|
п, • (т „ |
+ Т *"3 + т5г) 4 Т ^ - 0 4 |
+ ... + |
|
|
|
4 ...4 Т (; - ‘> = |
П .-Т ? . |
(4) |
В равенствах (3), (4) содержатся неизвестные и ^ , |
н И?. Т$, |
|||
Находим их, удовлетворяя уравнениям (3), (4). Даль иейипю шаги л-1) итерации выполняются аналогично, пока не будут иаИдсиы но вые возмущения и |п\ от всех включении (1=3,4,... , К).
3.Использование итерационного алгоритма при решении задан с помощью представления Папковича — Нсйбера
Примером математической записи выражении и{п* может быть представление Пдиконичл — ПеЛбера перемещении через гармони-